Qual deve ser a relação D / d de um anel circular de forma que ele sofra a mesma força de arraste devido a um fluxo transversal de fluido que um disco de diâmetro d?
4. Duas esferas de diâmetros diferentes DA e DB podem ter a mesma velocidade terminal se a densidade da esfera maior for menor que a da outra. Para este caso, determinar a relação DA / DB em função das densidades dos sólidos e do fluido se o regime for a) de Newton e b) de Stokes.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de dinâmica de fluidos: primeiro, achar a relação entre o diâmetro externo de um anel circular (seção tubular de diâmetro d) e o diâmetro de um disco cheio (dado também por d) para que ambos sofram a mesma força de arrasto em fluxo transversal. Depois, determinar a razão entre os diâmetros de duas esferas (D_A e D_B) para que tenham a mesma velocidade terminal, em (a) regime de Newton e (b) regime de Stokes. Vamos usar conceitos de arrasto dependente da área projetada e do regime de escoamento, além do balanço entre força de arrasto e peso aparente.

Passo 2

Para o anel, modelamos a força de arrasto como a de um cilindro de diâmetro d (seção tubular) e comprimento igual ao perímetro πD, com coeficiente de arrasto C_{D,c}. Para o disco, usamos o arrasto de superfície plana, área A = πd^2/4, com coeficiente C_{D,d}. Assim,
Fanel = tfrac12,rhof,CD,c,d,(pi D),U^2,
Fdisco = tfrac12,rhof,CD,d,l(tfracpi d^24r),U^2
Igualando as duas forças e cancelando tfrac12,rhof,U^2,pi:
CD,c,d,D = CD,d,d^24
Desse modo, isolamos a razão desejada:
Dd = CD,d4,CD,c

Passo 3

Para as esferas em queda, o equilíbrio na direção vertical é entre peso aparente e arrasto. No regime de Newton:
tfrac12,rhof,CD,pi D^24,U^2 = (rhos - rhof),pi D^36,g
Desse passo, obtemos a velocidade terminal
U = raiz4(rhos - rhof),g,D3,rhof,CD
Igualando as velocidades de A e B (mesmo U) e cancelando termos comuns, surge:
DA,(rhoA-rhof)=DB,(rhoB-rhof)
portanto
DADB=rhoB-rhofrhoA-rhof

Passo 4

Em regime de Stokes, o arrasto é 3πμDU, e o balanço dá:
3pi,mu,D,U = (rhos - rhof),pi D^36,g
levando a
U = (rhos - rhof),g,D^218,mu
Repetindo o passo de igualar U_A=U_B resulta em
DA^2,(rhoA-rhof)=DB^2,(rhoB-rhof)
e finalmente
DADB=raizrhoB-rhofrhoA-rhof

Resposta

Para o anel e o disco:
Dd=CD,d4,CD,c
Para as esferas com mesma velocidade terminal:
a) regime de Newton:
DADB=rhoB-rhofrhoA-rhof
b) regime de Stokes:
DADB=raizrhoB-rhofrhoA-rhof

Exercícios relacionados