Uma partícula executa MHS com amplitude A. A energia cinética máxima da partícula é igual a 8\pi^2 m A^2 f^2, onde m é a massa da partícula e f é a frequência do movimento. A energia potencial máxima da partícula é igual a 8\pi^2 m A^2 f^2. A energia total da partícula é igual a 16\pi^2 m A^2 f^2.
Pode-se calcular a energia cinética da partícula no ponto x = A/2.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • A energia cinética máxima: K_{\max} = 8\pi^{2} m A^{2} f^{2}.
  • A energia potencial máxima: U_{\max} = 8\pi^{2} m A^{2} f^{2}.
  • A energia total: E = 16\pi^{2} m A^{2} f^{2}.
    A pergunta é: calcular a energia cinética da partícula no ponto x = A/2.

Passo 2

Conceito útil e abordagem geral (explicado passo a passo, sem pular etapas).
  • Em um movimento harmônico simples a energia potencial elástica varia com o quadrado da posição: U(x) é proporcional a x^{2}. Isso vem da forma U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2}, onde k é a constante elástica. Aqui não precisamos conhecer k explicitamente se soubermos o valor de U na amplitude.
  • A máxima energia potencial ocorre em x=A. Portanto podemos relacionar U(x) com U_{\max} por proporcionalidade:
U(x)=U_{\max}\,\frac{x^{2}}{A^{2}}.
Explanação breve do porquê: U(x)=\tfrac{1}{2}k x^{2} e U_{\max}=U(A)=\tfrac{1}{2}k A^{2}. Dividindo as duas igualdades obtém-se a fórmula acima.
  • A energia cinética em qualquer posição x é a diferença entre a energia total e a energia potencial nessa posição:
K(x)=E-U(x).
Explanação: energia total é constante e se divide entre potencial e cinética em cada instante; assim o que sobra após subtrair U(x) é a energia cinética naquele ponto.

Passo 3

Aplicar a fórmula de U(x) usando o valor de U_{\max} dado.
Substituindo U_{\max}=8\pi^{2} m A^{2} f^{2} na expressão de U(x) temos:
U(x)=8\pi^{2} m A^{2} f^{2}\cdot\frac{x^{2}}{A^{2}}.
Simplificando o fator A^{2} que aparece no numerador e denominador:
U(x)=8\pi^{2} m f^{2} x^{2}.

Passo 4

Calcular U em x=A/2.
Substituindo x=\dfrac{A}{2} em U(x):
U\!\left(\frac{A}{2}\right)=8\pi^{2} m f^{2}\left(\frac{A}{2}\right)^{2} =8\pi^{2} m f^{2}\cdot\frac{A^{2}}{4} =2\pi^{2} m A^{2} f^{2}.

Passo 5

Calcular a energia cinética em x=A/2 usando K(x)=E-U(x).
Substituindo E=16\pi^{2} m A^{2} f^{2} e U\!\left(\dfrac{A}{2}\right)=2\pi^{2} m A^{2} f^{2}:
K\!\left(\frac{A}{2}\right)=16\pi^{2} m A^{2} f^{2}-2\pi^{2} m A^{2} f^{2} =14\pi^{2} m A^{2} f^{2}.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (importante para a prova, atenção a esses checagens):
  • Comparar com K_{\max} dado: K_{\max}=8\pi^{2} m A^{2} f^{2}.
  • O valor encontrado K\!\left(\dfrac{A}{2}\right)=14\pi^{2} m A^{2} f^{2} é numericamente maior que K_{\max}. Em física padrão de MHS isso é impossível, porque a energia cinética em qualquer ponto não pode exceder a energia cinética máxima.
  • Conclusão prática: os números fornecidos no enunciado são internamente inconsistentes com o comportamento usual do oscilador harmônico (normalmente E=U_{\max}=K_{\max} não são dois valores distintos que somem, etc.). Mesmo assim, seguindo estritamente as expressões fornecidas e a lógica matemática K=E-U, obtemos o resultado acima. Na prova, se você encontrar esse tipo de contradição, vale anotar a observação e mostrar o cálculo — o examinador costuma avaliar a verificação.

Resposta

14\pi^{2} m A^{2} f^{2}

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