Uma partícula executa MHS com amplitude A. A energia cinética máxima da partícula é igual a 8\pi^2 m A^2 f^2, onde m é a massa da partícula e f é a frequência do movimento. A energia potencial máxima da partícula é igual a 8\pi^2 m A^2 f^2. A energia total da partícula é igual a 16\pi^2 m A^2 f^2.
Pode-se calcular a energia cinética da partícula no ponto x = A/2.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
- A energia cinética máxima:
. - A energia potencial máxima:
. - A energia total:
.
A pergunta é: calcular a energia cinética da partícula no ponto.
Passo 2
Conceito útil e abordagem geral (explicado passo a passo, sem pular etapas).
- Em um movimento harmônico simples a energia potencial elástica varia com o quadrado da posição:
é proporcional a . Isso vem da forma , onde é a constante elástica. Aqui não precisamos conhecer explicitamente se soubermos o valor de na amplitude. - A máxima energia potencial ocorre em
. Portanto podemos relacionar com por proporcionalidade:
Explanação breve do porquê:
e
. Dividindo as duas igualdades obtém-se a fórmula acima.
- A energia cinética em qualquer posição
é a diferença entre a energia total e a energia potencial nessa posição:
Explanação: energia total é constante e se divide entre potencial e cinética em cada instante; assim o que sobra após subtrair
é a energia cinética naquele ponto.
Passo 3
Aplicar a fórmula de
usando o valor de
dado.
Substituindo na expressão de
temos:
Substituindo
Simplificando o fator
que aparece no numerador e denominador:
Passo 4
Calcular
em
.
Substituindo em
:
Substituindo
Passo 5
Calcular a energia cinética em
usando
.
Substituindo e
:
Substituindo
Passo 6
Verificação rápida de consistência (importante para a prova, atenção a esses checagens):
- Comparar com
dado: . - O valor encontrado
é numericamente maior que . Em física padrão de MHS isso é impossível, porque a energia cinética em qualquer ponto não pode exceder a energia cinética máxima. - Conclusão prática: os números fornecidos no enunciado são internamente inconsistentes com o comportamento usual do oscilador harmônico (normalmente
não são dois valores distintos que somem, etc.). Mesmo assim, seguindo estritamente as expressões fornecidas e a lógica matemática , obtemos o resultado acima. Na prova, se você encontrar esse tipo de contradição, vale anotar a observação e mostrar o cálculo — o examinador costuma avaliar a verificação.