Determine:
a) a amplitude do movimento;
b) o período do movimento;
c) a frequência do movimento;
d) a velocidade máxima do bloco;
e) a aceleração máxima do bloco;
f) a velocidade e a aceleração do bloco para
.
a) a amplitude do movimento;
b) o período do movimento;
c) a frequência do movimento;
d) a velocidade máxima do bloco;
e) a aceleração máxima do bloco;
f) a velocidade e a aceleração do bloco para
Passo 1
O enunciado pede seis coisas sobre o movimento de um bloco (a–f) mas não deu nenhum dado numérico (como massa
, constante da mola
, condição inicial
,
, amplitude
, frequência angular
, ou a equação do movimento). Vou listar claramente o que o problema pede e o que foi (não) fornecido:
O que o enunciado pergunta:
- (a) a amplitude do movimento;
- (b) o período do movimento;
- (c) a frequência do movimento;
- (d) a velocidade máxima do bloco;
- (e) a aceleração máxima do bloco;
- (f) a velocidade e a aceleração do bloco para
.
Informações relevantes que o enunciado deveria dar e que não foram fornecidas:
- pelo menos dois dos três: amplitude
, frequência angular (ou e ), ou condições iniciais e ; - OU a forma explícita da função
(por exemplo ); - sem esses dados numéricos não é possível dar valores numéricos finais.
Vou então apresentar passo a passo como obter cada item em termos simbólicos (fórmulas) e ensinar como proceder na prova. No final deixo as fórmulas finais para cada item; se houver dados numéricos é só substituir.
Passo 2
Modelo básico (o que é o movimento harmônico simples e quais são as convenções).
- Para um movimento harmônico simples (MHS) unidimensional usualmente escrevemos a posição como
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento em módulo); -
é a frequência angular (em ); -
é a fase inicial (em radianos); -
é o tempo (em s). - Essa é uma forma padrão; alternativamente pode-se usar
. Ambas são equivalentes mudando .
Explicação rápida do porquê dessa forma:
- A equação diferencial do MHS é
. As soluções são combinações de seno e cosseno; escolhemos a forma acima porque já contém amplitude e fase.
Passo 3
Como obter a amplitude
a partir de condições iniciais.
- Se forem dadas as condições iniciais
e , então da forma obtemos em :
- Para eliminar
e obter faça o quadrado e some as duas equações:
- Portanto, a fórmula prática é
Interpretação: a amplitude combina deslocamento inicial e componente “velocidade inicial” transformada em comprimento por divisão por
.
Passo 4
Período
e frequência
.
- Definições:
- Período
é o tempo que demora um ciclo completo. - Frequência
é o número de ciclos por segundo.
- Período
- Relações com
:
- Se o MHS vem de um sistema massa-mola com massa
e constante elástica , então
portanto
Passo 5
Velocidade e velocidade máxima.
- Derivando
:
- A velocidade máxima em módulo acontece quando
, então
- Observação física/energética rápida (intuição): energia máxima cinética
é igual à energia potencial máxima , daí (pois ).
Passo 6
Aceleração e aceleração máxima.
- Aceleração é a derivada da velocidade:
- Outra forma útil (lei de Hooke / equação do movimento) é
- A aceleração máxima em módulo ocorre quando
, então
Passo 7
Como obter velocidade e aceleração conhecendo apenas a posição
(útil para item f).
- Se em certo instante a posição for
(conhecida) e o movimento é MHS com amplitude e frequência angular , a velocidade em módulo pode ser obtida da conservação da energia (ou da identidade trigonométrica):
- Derivação curta: escreva
com . Então . Como , obtemos o resultado em módulo; o sinal de depende do sentido do movimento (se o bloco está indo para a direita ou esquerda). - A aceleração, usando
, fica diretamente:
- Isso já dá o sinal correto: se
a aceleração aponta para a esquerda (negativa), se aponta para a direita (positiva).
Passo 8
Como proceder na prova (passos práticos).
- Identifique se o problema fornece
, (ou ), ou . - Se der
e , calcule pela fórmula do Passo 3. Se der e , calcule . - Use as fórmulas do Passo 4 para
e . - Use Passo 5 para
e Passo 6 para . - Para
aplique as fórmulas do Passo 7; cuidado com o sinal da velocidade — determine o sentido a partir das condições iniciais ou do enunciado.
Resposta
(a)
(quando dadas
e
); se
for fornecida, é
.
(b)
(ou
se vier de massa-mola).
(c)
(ou
).
(d)
.
(e)
.
(f) Para
:
Se você me passar os valores numéricos (por exemplo
e
, ou
e
, ou
e
), eu substituo nas fórmulas e calculo tudo passo a passo com números e explicando cada conta — você já ganha confiança rapidinho, vamos nessa!