Determine:
a) a amplitude do movimento;
b) o período do movimento;
c) a frequência do movimento;
d) a velocidade máxima do bloco;
e) a aceleração máxima do bloco;
f) a velocidade e a aceleração do bloco para \mathrm{x}=0,2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede seis coisas sobre o movimento de um bloco (a–f) mas não deu nenhum dado numérico (como massa m, constante da mola k, condição inicial x(0), v(0), amplitude A, frequência angular \omega, ou a equação do movimento). Vou listar claramente o que o problema pede e o que foi (não) fornecido:
O que o enunciado pergunta:
  • (a) a amplitude do movimento;
  • (b) o período do movimento;
  • (c) a frequência do movimento;
  • (d) a velocidade máxima do bloco;
  • (e) a aceleração máxima do bloco;
  • (f) a velocidade e a aceleração do bloco para x=0,2\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes que o enunciado deveria dar e que não foram fornecidas:
  • pelo menos dois dos três: amplitude A, frequência angular \omega (ou k e m), ou condições iniciais x(0) e v(0);
  • OU a forma explícita da função x(t) (por exemplo x(t)=\ldots);
  • sem esses dados numéricos não é possível dar valores numéricos finais.
    Vou então apresentar passo a passo como obter cada item em termos simbólicos (fórmulas) e ensinar como proceder na prova. No final deixo as fórmulas finais para cada item; se houver dados numéricos é só substituir.

Passo 2

Modelo básico (o que é o movimento harmônico simples e quais são as convenções).
  • Para um movimento harmônico simples (MHS) unidimensional usualmente escrevemos a posição como
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento em módulo);
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial (em radianos);
  • t é o tempo (em s).
  • Essa é uma forma padrão; alternativamente pode-se usar x(t)=A\sin(\omega t+\varphi). Ambas são equivalentes mudando \varphi.
Explicação rápida do porquê dessa forma:
  • A equação diferencial do MHS é \ddot x + \omega^2 x = 0. As soluções são combinações de seno e cosseno; escolhemos a forma acima porque já contém amplitude e fase.

Passo 3

Como obter a amplitude A a partir de condições iniciais.
  • Se forem dadas as condições iniciais x(0)=x_0 e v(0)=v_0, então da forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) obtemos em t=0:
x_0 = A\cos\varphi, \qquad v_0 = \dot x(0) = -A\omega\sin\varphi.
  • Para eliminar \varphi e obter A faça o quadrado e some as duas equações:
x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 = A^2\cos^2\varphi + A^2\sin^2\varphi = A^2.
  • Portanto, a fórmula prática é
A=\sqrt{\,x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2\,}.
Interpretação: a amplitude combina deslocamento inicial e componente “velocidade inicial” transformada em comprimento por divisão por \omega.

Passo 4

Período T e frequência f.
  • Definições:
    • Período T é o tempo que demora um ciclo completo.
    • Frequência f é o número de ciclos por segundo.
  • Relações com \omega:
T=\dfrac{2\pi}{\omega}, \qquad f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}.
  • Se o MHS vem de um sistema massa-mola com massa m e constante elástica k, então
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}},
portanto
T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}, \qquad f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Passo 5

Velocidade e velocidade máxima.
  • Derivando x(t):
v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
  • A velocidade máxima em módulo acontece quando \sin(\omega t+\varphi)=\pm1, então
v_{\max}=A\omega.
  • Observação física/energética rápida (intuição): energia máxima cinética =\tfrac12 m v_{\max}^2 é igual à energia potencial máxima \tfrac12 k A^2, daí v_{\max}=A\omega (pois \omega^2=k/m).

Passo 6

Aceleração e aceleração máxima.
  • Aceleração é a derivada da velocidade:
a(t)=\dot v(t)=-A\omega^2\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
  • Outra forma útil (lei de Hooke / equação do movimento) é
a(t) = -\omega^2 x(t).
  • A aceleração máxima em módulo ocorre quando |\cos(\omega t+\varphi)|=1, então
a_{\max}=A\omega^2.

Passo 7

Como obter velocidade e aceleração conhecendo apenas a posição x (útil para item f).
  • Se em certo instante a posição for x (conhecida) e o movimento é MHS com amplitude A e frequência angular \omega, a velocidade em módulo pode ser obtida da conservação da energia (ou da identidade trigonométrica):
v = \omega\sqrt{\,A^2 - x^2\,}.
  • Derivação curta: escreva x=A\cos\theta com \theta=\omega t+\varphi. Então \sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}=\pm\sqrt{1-(x/A)^2}. Como v=-A\omega\sin\theta, obtemos o resultado em módulo; o sinal de v depende do sentido do movimento (se o bloco está indo para a direita ou esquerda).
  • A aceleração, usando a=-\omega^2 x, fica diretamente:
a = -\omega^2 x.
  • Isso já dá o sinal correto: se x>0 a aceleração aponta para a esquerda (negativa), se x<0 aponta para a direita (positiva).

Passo 8

Como proceder na prova (passos práticos).
  1. Identifique se o problema fornece A, \omega (ou k,m), ou x(0),v(0).
  2. Se der x(0),v(0) e \omega, calcule A pela fórmula do Passo 3. Se der k e m, calcule \omega=\sqrt{k/m}.
  3. Use as fórmulas do Passo 4 para T e f.
  4. Use Passo 5 para v_{\max} e Passo 6 para a_{\max}.
  5. Para x=0{,}2\\ \mathrm{m} aplique as fórmulas do Passo 7; cuidado com o sinal da velocidade — determine o sentido a partir das condições iniciais ou do enunciado.

Resposta

(a) A=\sqrt{\,x_0^2 + \left(\dfrac{v_0}{\omega}\right)^2\,} (quando dadas x_0 e v_0); se A for fornecida, é A.
(b) T=\dfrac{2\pi}{\omega} (ou T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} se vier de massa-mola).
(c) f=\dfrac{\omega}{2\pi} (ou f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}).
(d) v_{\max}=A\omega.
(e) a_{\max}=A\omega^2.
(f) Para x=0{,}2\\ \mathrm{m}:
v=\pm\,\omega\sqrt{\,A^2 - (0{,}2)^2\,}\quad\text{(sinal determinado pelo sentido do movimento)}, \qquad a = -\omega^2\,(0{,}2).
Se você me passar os valores numéricos (por exemplo m e k, ou A e \omega, ou x(0) e v(0)), eu substituo nas fórmulas e calculo tudo passo a passo com números e explicando cada conta — você já ganha confiança rapidinho, vamos nessa!

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