Uma partícula executa um movimento circular de raio
. Sua velocidade angular varia conforme
. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração normal (centrípeta) no instante
.
a)
b)
c)
d)
e) Outra resposta
a)
b)
c)
d)
e) Outra resposta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a aceleração tangencial e a aceleração normal (centrípeta) no instante
. As informações dadas são:
- Raio do movimento circular:
. - Velocidade angular como função do tempo:
. (o enunciado escreveu ; aqui interpretei isso como , ou seja cresce linearmente com .) - Instante em que devemos avaliar:
.
As quantidades que precisamos entregar são: - aceleração tangencial
no instante ; - aceleração normal (centrípeta)
no instante .
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas e o significado de cada quantidade (é aqui que a gente aprende o que usar na prova, passo a passo).
- A velocidade angular
mede a rapidez angular em rad/s. A velocidade linear (tangencial) de uma partícula em movimento circular está relacionada por
Aqui
é em
,
em
e
em
.
- A aceleração tangencial
é a componente da aceleração que altera o módulo da velocidade linear (faz a partícula acelerar ou desacelerar ao longo da trajetória). Ela está ligada à variação temporal da velocidade angular através da aceleração angular (também chamada de aceleração angular):
e
Aqui
tem unidade
e
tem unidade
.
- A aceleração normal (centrípeta)
aponta para o centro da curva e tem expressão em termos de ou :
Essas duas expressões são equivalentes porque
.
Passo 3
Avaliar a velocidade angular no instante
.
A função dada é . Logo, em
:
A função dada é
Passo 4
Calcular a aceleração angular
fazendo a derivada de
.
Como , derivando em relação a
obtemos:
Como
Observação: derivar uma função linear
dá a constante
. Aqui
é a constante que multiplica
.
Passo 5
Calcular a aceleração tangencial
usando
.
Substituindo e
:
Substituindo
Interpretação prática: como a velocidade angular está aumentando, a partícula ganha velocidade tangencial; o termo
é o quanto essa velocidade linear cresce por segundo naquele instante.
Passo 6
Calcular a velocidade linear
no instante
para usar na fórmula da aceleração normal.
Usando e os valores já encontrados:
Usando
Passo 7
Calcular a aceleração normal
. Podemos usar
ou
. Vou usar
com o
que acabamos de achar:
Portanto
(Segundo caminho:
, chega no mesmo resultado.)
Passo 8
Resumo numérico e comparação com as alternativas do enunciado:
-
. -
.
Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
d)