Uma partícula executa um movimento circular de raio \mathrm{R}=2 \mathrm{~m}. Sua velocidade angular varia conforme \omega(\mathrm{t})=2 \pi \mathrm{trad} / \mathrm{s}. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração normal (centrípeta) no instante \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}.
a) a_{t}=2 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}=8 \pi^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) a_{t}=4 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}=4 \pi^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) a t=2 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}=4 \pi^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) a_{t}=4 \pi \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ; a_{n}=8 \pi^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
e) Outra resposta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a aceleração tangencial e a aceleração normal (centrípeta) no instante t=1\\ \mathrm{s}. As informações dadas são:
  • Raio do movimento circular: R=2\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade angular como função do tempo: \omega(t)=2\pi\,t\\ \mathrm{rad/s}. (o enunciado escreveu \omega(t)=2\pi\\ \mathrm{trad/s}; aqui interpretei isso como \omega(t)=2\pi t, ou seja \omega cresce linearmente com t.)
  • Instante em que devemos avaliar: t=1\\ \mathrm{s}.
    As quantidades que precisamos entregar são:
  • aceleração tangencial a_{t} no instante t=1\\ \mathrm{s};
  • aceleração normal (centrípeta) a_{n} no instante t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos recordar as fórmulas e o significado de cada quantidade (é aqui que a gente aprende o que usar na prova, passo a passo).
  • A velocidade angular \omega(t) mede a rapidez angular em rad/s. A velocidade linear (tangencial) v de uma partícula em movimento circular está relacionada por
v=\omega R.
Aqui v é em \mathrm{m/s}, \omega em \mathrm{rad/s} e R em \mathrm{m}.
  • A aceleração tangencial a_{t} é a componente da aceleração que altera o módulo da velocidade linear (faz a partícula acelerar ou desacelerar ao longo da trajetória). Ela está ligada à variação temporal da velocidade angular através da aceleração angular \alpha (também chamada de aceleração angular):
\alpha=\frac{d\omega}{dt},
e
a_{t}=\alpha\,R.
Aqui \alpha tem unidade \mathrm{rad/s^{2}} e a_{t} tem unidade \mathrm{m/s^{2}}.
  • A aceleração normal (centrípeta) a_{n} aponta para o centro da curva e tem expressão em termos de v ou \omega:
a_{n}=\frac{v^{2}}{R} \quad\text{ou}\quad a_{n}=\omega^{2}R.
Essas duas expressões são equivalentes porque v=\omega R.

Passo 3

Avaliar a velocidade angular no instante t=1\\ \mathrm{s}.
A função dada é \omega(t)=2\pi\,t. Logo, em t=1\\ \mathrm{s}:
\omega(1)=2\pi\cdot 1=2\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a aceleração angular \alpha fazendo a derivada de \omega(t).
Como \omega(t)=2\pi\,t, derivando em relação a t obtemos:
\alpha=\frac{d\omega}{dt}=2\pi\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Observação: derivar uma função linear a t dá a constante a. Aqui 2\pi é a constante que multiplica t.

Passo 5

Calcular a aceleração tangencial a_{t} usando a_{t}=\alpha R.
Substituindo \alpha=2\pi\\ \mathrm{rad/s^{2}} e R=2\\ \mathrm{m}:
a_{t}=\alpha R = (2\pi)\cdot 2 = 4\pi\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação prática: como a velocidade angular está aumentando, a partícula ganha velocidade tangencial; o termo 4\pi é o quanto essa velocidade linear cresce por segundo naquele instante.

Passo 6

Calcular a velocidade linear v no instante t=1\\ \mathrm{s} para usar na fórmula da aceleração normal.
Usando v=\omega R e os valores já encontrados:
v=\omega(1)\,R =(2\pi)\cdot 2 = 4\pi\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Calcular a aceleração normal a_{n}. Podemos usar \displaystyle a_{n}=\frac{v^{2}}{R} ou \displaystyle a_{n}=\omega^{2}R. Vou usar v^{2}/R com o v que acabamos de achar:
v^{2}=(4\pi)^{2}=16\pi^{2}\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
Portanto
a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\frac{16\pi^{2}}{2}=8\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Segundo caminho: \omega^{2}R=(2\pi)^{2}\cdot 2 = 4\pi^{2}\cdot 2 = 8\pi^{2}, chega no mesmo resultado.)

Passo 8

Resumo numérico e comparação com as alternativas do enunciado:
  • a_{t}=4\pi\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • a_{n}=8\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) a_{t}=4\pi\\ \mathrm{m/s^{2}};\\ a_{n}=8\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados