Sendo
coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
.
Passo 1
O enunciado pede que eu descreva os seguintes lugares (loci) definidos em coordenadas cilíndricas e escreva a equação correspondente em coordenadas retangulares:
- O lugar dado por
. - O lugar dado por
.
Informações fornecidas/úteis: as coordenadas cilíndricas são
. Não há figura extra. Vou usar as relações de conversão entre coordenadas cilíndricas e retangulares para passar para
.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que relacionam coordenadas cilíndricas
com coordenadas retangulares
. Essas fórmulas são fundamentais e vêm direto da definição das coordenadas polares no plano
, estendidas ao espaço com a coordenada
:
Explicando cada símbolo:
é a distância radial ao eixo
(sempre
),
é o ângulo no plano
medido a partir do eixo
, e
é a coordenada vertical (igual em ambos sistemas).
Uma relação útil que sai dessas é a tangente do ângulo:
válida quando
. Vou usar isso para passar uma condição
constante para uma equação entre
e
.
Passo 3
Analisando o lugar
.
Interpretação geométrica intuitiva: fixar
significa fixar a direção no plano
. Para cada
e todo
qualquer, o ponto tem a mesma direção angular
. Geometricamente isso forma um semiplano vertical que contém o eixo
e faz ângulo
com o eixo
.
Agora passo para a equação retangular. Usando
e substituindo
:
Como
, obtemos
com a observação importante do domínio das coordenadas cilíndricas: em cilindricas
, então os pontos com exatamente
correspondem ao semiplano vertical dado por
com a restrição
, o que equivale a exigir que os pontos do semiplano tenham a projeção no plano
na direção
(em particular, para
temos
; o ponto
é a origem). Se eu escrever apenas
em coordenadas retangulares, isso descreve a mesma superfície geométrica (um plano vertical) mas sem distinguir as duas direções opostas (ela também contém a direção
). Para representar estritamente o conjunto
convém lembrar a restrição
(ou equivalentemente, exigir que os pontos do plano satisfaçam a condição de estarem na meia-direção).
Exemplo numérico simples:
dá
, que satisfaz
.
Passo 4
Analisando o lugar
.
Interpretação geométrica: fixar
significa escolher um plano horizontal paralelo ao plano
. Então
é o plano horizontal a uma unidade acima do plano
.
Em coordenadas retangulares a equação é trivialmente
que descreve todos os pontos
com
e
arbitrários.
Exemplo numérico:
e
estão ambos no plano
.
Passo 5
Observação útil (não requisitada explicitamente, mas que ajuda a visualizar): a interseção dos dois lugares
e
é a reta horizontal contida no plano
que tem equação
e
(novamente, restringindo
se quisermos o semirreto correspondente apenas a
na convenção
).