Sendo \rho, \varphi, z coordenadas cilíndricas, descrever os seguintes lugares e escrever a equação de cada um em coordenadas retangulares:
\varphi=\pi / 3, z=1.

Passo 1

O enunciado pede que eu descreva os seguintes lugares (loci) definidos em coordenadas cilíndricas e escreva a equação correspondente em coordenadas retangulares:
  • O lugar dado por \varphi=\pi/3.
  • O lugar dado por z=1.
Informações fornecidas/úteis: as coordenadas cilíndricas são \rho,\varphi,z. Não há figura extra. Vou usar as relações de conversão entre coordenadas cilíndricas e retangulares para passar para x,y,z.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que relacionam coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) com coordenadas retangulares (x,y,z). Essas fórmulas são fundamentais e vêm direto da definição das coordenadas polares no plano xy, estendidas ao espaço com a coordenada z:
x = \rho\cos\varphi,\qquad y = \rho\sin\varphi,\qquad z = z.
Explicando cada símbolo: \rho é a distância radial ao eixo z (sempre \rho\ge 0), \varphi é o ângulo no plano xy medido a partir do eixo x, e z é a coordenada vertical (igual em ambos sistemas).
Uma relação útil que sai dessas é a tangente do ângulo:
\tan\varphi = \frac{y}{x},
válida quando x\neq 0. Vou usar isso para passar uma condição \varphi= constante para uma equação entre x e y.

Passo 3

Analisando o lugar \varphi=\pi/3.
Interpretação geométrica intuitiva: fixar \varphi significa fixar a direção no plano xy. Para cada \rho\ge 0 e todo z qualquer, o ponto tem a mesma direção angular \pi/3. Geometricamente isso forma um semiplano vertical que contém o eixo z e faz ângulo \pi/3 com o eixo x.
Agora passo para a equação retangular. Usando \tan\varphi = y/x e substituindo \varphi=\pi/3:
\tan\!\left(\pi/3\right)=\frac{y}{x}.
Como \tan\!\left(\pi/3\right)=\sqrt{3}, obtemos
\frac{y}{x}=\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad y=\sqrt{3}\,x,
com a observação importante do domínio das coordenadas cilíndricas: em cilindricas \rho\ge 0, então os pontos com exatamente \varphi=\pi/3 correspondem ao semiplano vertical dado por y=\sqrt{3}x com a restrição \rho\ge 0, o que equivale a exigir que os pontos do semiplano tenham a projeção no plano xy na direção \pi/3 (em particular, para \rho>0 temos x>0; o ponto \rho=0 é a origem). Se eu escrever apenas y=\sqrt{3}x em coordenadas retangulares, isso descreve a mesma superfície geométrica (um plano vertical) mas sem distinguir as duas direções opostas (ela também contém a direção \varphi=\pi/3+\pi). Para representar estritamente o conjunto \varphi=\pi/3 convém lembrar a restrição \rho\ge0 (ou equivalentemente, exigir que os pontos do plano satisfaçam a condição de estarem na meia-direção).
Exemplo numérico simples: \rho=1, z=0 x=\tfrac12, y=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, que satisfaz y=\sqrt{3}x.

Passo 4

Analisando o lugar z=1.
Interpretação geométrica: fixar z significa escolher um plano horizontal paralelo ao plano xy. Então z=1 é o plano horizontal a uma unidade acima do plano xy.
Em coordenadas retangulares a equação é trivialmente
z=1,
que descreve todos os pontos (x,y,1) com x e y arbitrários.
Exemplo numérico: (x,y,z)=(0,0,1) e (2,-1,1) estão ambos no plano z=1.

Passo 5

Observação útil (não requisitada explicitamente, mas que ajuda a visualizar): a interseção dos dois lugares \varphi=\pi/3 e z=1 é a reta horizontal contida no plano z=1 que tem equação y=\sqrt{3}x e z=1 (novamente, restringindo x\ge 0 se quisermos o semirreto correspondente apenas a \varphi=\pi/3 na convenção \rho\ge0).

Resposta

\varphi=\pi/3:\\ y=\sqrt{3}\,x (semiplano vertical na direção \pi/3; para representar somente \varphi=\pi/3 impor \rho\ge0, equival. x\ge0 na projeção).\n
z=1:\\ z=1

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