A funda é um aparato muito simples, feito de uma laçada de couro ou corda, com o objetivo de arremessar pedras, ou outros projéteis. Suponha que uma funda rodopie uma pedra em círculos horizontais de raio
a uma altura de
do nível do chão. A pedra é solta, justamente, quando a sua aceleração centrípeta atinge
. Após o lançamento, qual a distância horizontal percorrida pela pedra até atingir o solo? (6m)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
- A pedra descreve um movimento circular horizontal de raio
. - A altura inicial da pedra em relação ao chão é
. - A pedra é solta no instante em que sua aceleração centrípeta vale
, onde é a aceleração da gravidade.
O que se pede: - Determinar a distância horizontal percorrida pela pedra desde o ponto de soltura até o impacto no solo (alcance horizontal).
Passo 2
Entender o que significa “aceleração centrípeta” e como ela relaciona velocidade e raio:
- Para um movimento circular de raio
com velocidade escalar , a aceleração centrípeta tem a expressão
Aqui
é a magnitude da aceleração dirigida ao centro,
é a velocidade tangencial da pedra no instante da soltura e
é o raio da trajetória circular.
- No problema foi dado que
. Substituindo na fórmula obtemos uma relação para :
Explicação curta das variáveis:
é a velocidade horizontal instantânea no momento da soltura;
é a aceleração da gravidade (usar
ou mantê-la simbólica até simplificar).
Passo 3
Calcular a velocidade horizontal
no instante da soltura (vou manter
simbólico por enquanto):
Substituindo
e, se for desejável,
, temos os valores numéricos:
Mas observe que podemos deixar
como
para ver simplificações posteriores.
Passo 4
Analisar o movimento após a soltura: é um lançamento horizontal.
- No instante da soltura a velocidade vertical é nula:
. - A componente horizontal da velocidade permanece constante (ausência de resistência do ar no modelo):
. - A queda vertical é a de um corpo em queda livre a partir de altura
. A equação vertical é
onde
é a altura no tempo
após a soltura. O impacto ocorre quando
. Assim o tempo de queda
satisfaz
Aqui
é o tempo que a pedra leva para atingir o solo,
é a altura inicial e
é a gravidade.
Passo 5
Expressar o alcance horizontal
em função de
e
:
Substituindo as expressões obtidas para
e
obtemos uma simplificação bem prática:
Essa simplificação é útil e interessante: a gravidade
cancela, portanto o alcance não depende do valor numérico de
(desde que o problema seja consistente com as hipóteses feitas).
Passo 6
Calcular numericamente
usando
e
:
Unidades:
está em metros, pois
e
estavam em metros.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- O resultado
está coerente com o cálculo direto : e dão . - Observação prática para prova: quando aparece uma expressão com
envolvendo e depois queda livre, vale sempre tentar combinar as raízes — muitas vezes cancela como aqui, levando a um resultado simples.