A funda é um aparato muito simples, feito de uma laçada de couro ou corda, com o objetivo de arremessar pedras, ou outros projéteis. Suponha que uma funda rodopie uma pedra em círculos horizontais de raio 1,5 \mathrm{~m} a uma altura de 1,5 \mathrm{~m} do nível do chão. A pedra é solta, justamente, quando a sua aceleração centrípeta atinge 8 g. Após o lançamento, qual a distância horizontal percorrida pela pedra até atingir o solo? (6m)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas tiradas do texto do problema):
  • A pedra descreve um movimento circular horizontal de raio r=1,5\\ \mathrm{m}.
  • A altura inicial da pedra em relação ao chão é y_0=1,5\\ \mathrm{m}.
  • A pedra é solta no instante em que sua aceleração centrípeta vale a_c=8g, onde g é a aceleração da gravidade.
    O que se pede:
  • Determinar a distância horizontal percorrida pela pedra desde o ponto de soltura até o impacto no solo (alcance horizontal).

Passo 2

Entender o que significa “aceleração centrípeta” e como ela relaciona velocidade e raio:
  • Para um movimento circular de raio r com velocidade escalar v, a aceleração centrípeta tem a expressão
a_c=\frac{v^2}{r}.
Aqui a_c é a magnitude da aceleração dirigida ao centro, v é a velocidade tangencial da pedra no instante da soltura e r é o raio da trajetória circular.
  • No problema foi dado que a_c=8g. Substituindo na fórmula obtemos uma relação para v:
\frac{v^2}{r}=8g \quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{8 g r}.
Explicação curta das variáveis: v é a velocidade horizontal instantânea no momento da soltura; g é a aceleração da gravidade (usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} ou mantê-la simbólica até simplificar).

Passo 3

Calcular a velocidade horizontal v no instante da soltura (vou manter g simbólico por enquanto):
v=\sqrt{8 g r}.
Substituindo r=1,5\\ \mathrm{m} e, se for desejável, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, temos os valores numéricos:
8\cdot g\cdot r = 8\cdot 9{,}8\cdot 1{,}5 = 117{,}6,
v=\sqrt{117{,}6}\approx 10{,}85\\ \mathrm{m/s}.
Mas observe que podemos deixar v como \sqrt{8 g r} para ver simplificações posteriores.

Passo 4

Analisar o movimento após a soltura: é um lançamento horizontal.
  • No instante da soltura a velocidade vertical é nula: v_{y0}=0.
  • A componente horizontal da velocidade permanece constante (ausência de resistência do ar no modelo): v_x=v.
  • A queda vertical é a de um corpo em queda livre a partir de altura y_0. A equação vertical é
y(t)=y_0-\tfrac{1}{2} g t^2,
onde y(t) é a altura no tempo t após a soltura. O impacto ocorre quando y(t)=0. Assim o tempo de queda t_f satisfaz
0=y_0-\tfrac{1}{2} g t_f^2 \quad\Longrightarrow\quad t_f=\sqrt{\frac{2 y_0}{g}}.
Aqui t_f é o tempo que a pedra leva para atingir o solo, y_0 é a altura inicial e g é a gravidade.

Passo 5

Expressar o alcance horizontal x em função de v e t_f:
x = v\, t_f.
Substituindo as expressões obtidas para v e t_f obtemos uma simplificação bem prática:
x = \sqrt{8 g r}\;\sqrt{\frac{2 y_0}{g}} = \sqrt{16\, r\, y_0} = 4\sqrt{r\,y_0}.
Essa simplificação é útil e interessante: a gravidade g cancela, portanto o alcance não depende do valor numérico de g (desde que o problema seja consistente com as hipóteses feitas).

Passo 6

Calcular numericamente x usando r=1{,}5\\ \mathrm{m} e y_0=1{,}5\\ \mathrm{m}:
r\,y_0 = 1{,}5\cdot 1{,}5 = 2{,}25,
\sqrt{r\,y_0}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5,
x = 4\cdot 1{,}5 = 6.
Unidades: x está em metros, pois r e y_0 estavam em metros.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado x=6\\ \mathrm{m} está coerente com o cálculo direto v\cdot t_f: v\approx10{,}85\\ \mathrm{m/s} e t_f\approx0{,}553\\ \mathrm{s} dão x\approx10{,}85\cdot0{,}553\approx6{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Observação prática para prova: quando aparece uma expressão com a_c envolvendo g e depois queda livre, vale sempre tentar combinar as raízes — muitas vezes g cancela como aqui, levando a um resultado simples.

Resposta

6\\ \mathrm{m}

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