Uma partícula executa um movimento de modo que no instante t, sua posição no espaço é r(t)=(1+t) i+(1-t) j+(t-1) k.
Quantas unidades de comprimento a partícula percorre, quando ela se move entre os instantes t=0 e t=1?

Passo 1

O enunciado dá a posição vetorial da partícula como r(t)=(1+t),i+(1-t),j+(t-1),k para 0<= t<=1. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva no espaço, que exige a derivada de r(t) e a integral da sua norma.

Passo 2

Para encontrar a velocidade instantânea, derivamos cada componente de r(t) em relação a t. Assim,
[\mathbf{r}’(t)=\frac{d}{dt}\bigl((1+t),,(1-t),,(t-1)\bigr)=(1,-1,1),.,

Passo 3

O módulo desse vetor constante é dado por
[|\mathbf{r}’(t)|=\sqrt{12+(-1)2+1^2}=\sqrt{3},.,

Passo 4

Como o módulo é constante, o comprimento percorrido de t=0 a t=1 é
[s=\int_{0}{1}|\mathbf{r}’(t)|,dt=\int_{0}{1}\sqrt{3},dt=\sqrt{3}\times(1-0)=\sqrt{3},.

Passo 5

Portanto, a partícula percorre raiz3 unidades de comprimento nesse intervalo de tempo.

Resposta

raiz3 unidades

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