Uma partícula executa um movimento de modo que no instante
, sua posição no espaço é
.
Quantas unidades de comprimento a partícula percorre, quando ela se move entre os instantes
e
?
Quantas unidades de comprimento a partícula percorre, quando ela se move entre os instantes
Passo 1
O enunciado dá a posição vetorial da partícula como
para
. O conteúdo aqui é o cálculo de comprimento de arco de uma curva no espaço, que exige a derivada de
e a integral da sua norma.
Passo 2
Para encontrar a velocidade instantânea, derivamos cada componente de
em relação a
. Assim,
[\mathbf{r}’(t)=\frac{d}{dt}\bigl((1+t),,(1-t),,(t-1)\bigr)=(1,-1,1),.,
Passo 3
O módulo desse vetor constante é dado por
[|\mathbf{r}’(t)|=\sqrt{12+(-1)2+1^2}=\sqrt{3},.,
Passo 4
Como o módulo é constante, o comprimento percorrido de
a
é
[s=\int_{0}{1}|\mathbf{r}’(t)|,dt=\int_{0}{1}\sqrt{3},dt=\sqrt{3}\times(1-0)=\sqrt{3},.
Passo 5
Portanto, a partícula percorre
unidades de comprimento nesse intervalo de tempo.