Obtenha expressões para o terceiro e o quarto momento de uma distribuição binomial.

Passo 1

O enunciado pede as expressões para o terceiro e o quarto momento (ou momento bruto) de uma variável aleatória com distribuição binomial. Estamos em Probabilidade, mais especificamente em momentos de distribuições. Para resolver precisamos usar as chamadas moment-–fatorial (E[X(X–1)…]) e depois relacioná-las com E[X^k].

Passo 2

Lembramos que para X∼Bin(n,p) valem as seguintes identidades de momento fatorial:
E[X]=np,
E[X(X-1)]=n(n-1)p^2,
E[X(X-1)(X-2)]=n(n-1)(n-2)p^3,
E[X(X-1)(X-2)(X-3)]=n(n-1)(n-2)(n-3)p^4

Passo 3

O terceiro momento bruto satisfaz a relação algébrica
x^3 = x(x-1)(x-2) + 3x(x-1) + x
Aplicando esperança em ambos os lados e usando os momentos fatoriais:
E[X^3] = E[X(X-1)(X-2)] + 3E[X(X-1)] + E[X]
Substituindo:
E[X^3] = n(n-1)(n-2)p^3 + 3n(n-1)p^2 + np

Passo 4

O quarto momento bruto obedece à identidade
x^4 = x(x-1)(x-2)(x-3) + 6x(x-1)(x-2) + 7x(x-1) + x
Tomando esperança em ambos os lados e substituindo os momentos fatoriais:
E[X^4] = E[X(X-1)(X-2)(X-3)] + 6E[X(X-1)(X-2)] + 7E[X(X-1)] + E[X],

Passo 5

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E[X^4] = n(n-1)(n-2)(n-3)p^4 + 6n(n-1)(n-2)p^3 + 7n(n-1)p^2 + np

Resposta

Para X∼Bin(n,p):
E[X^3] = n(n-1)(n-2)p^3 , + , 3,n(n-1)p^2 , + , n p,
E[X^4] = n(n-1)(n-2)(n-3)p^4 , + , 6,n(n-1)(n-2)p^3 , + , 7,n(n-1)p^2 , + , n p

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