Obtenha expressões para o terceiro e o quarto momento de uma distribuição binomial.
Passo 1
O enunciado pede as expressões para o terceiro e o quarto momento (ou momento bruto) de uma variável aleatória com distribuição binomial. Estamos em Probabilidade, mais especificamente em momentos de distribuições. Para resolver precisamos usar as chamadas moment-–fatorial (E[X(X–1)…]) e depois relacioná-las com E[X^k].
Passo 2
Lembramos que para X∼Bin(n,p) valem as seguintes identidades de momento fatorial:
Passo 3
O terceiro momento bruto satisfaz a relação algébrica
Aplicando esperança em ambos os lados e usando os momentos fatoriais:
Substituindo:
Passo 4
O quarto momento bruto obedece à identidade
Tomando esperança em ambos os lados e substituindo os momentos fatoriais:
Passo 5
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Resposta
Para X∼Bin(n,p):