Seja um evento caracterizado pela probabilidade
. (a) Qual é a probabilidade
dele ocorrer
vezes num total de
tentativas?
(b) Se
for muito pequeno, mostre que
onde
.
(b) Se
Passo 1
O problema pede a probabilidade de um evento ocorrer exatamente
vezes em
tentativas independentes, sabendo que em cada tentativa a probabilidade de sucesso é
. O conteúdo principal é distribuição binomial e a aproximação para distribuição de Poisson no limite de
.
Passo 2
Para modelar esse tipo de problema usamos a distribuição binomial. A probabilidade de ter exatamente
sucessos em
ensaios independentes é dada por
Aqui,
conta de quantas maneiras podemos escolher as
tentativas que serão sucesso,
é a probabilidade de esses
serem sucesso e
é a probabilidade de os demais falharem.
Passo 3
Agora vamos à aproximação para
muito pequeno, definindo
fixo. Primeiro, o coeficiente binomial se comporta como
e
pois
para
e usamos
.
Passo 4
Juntando tudo, temos
Isso mostra que, no limite de
com
constante, a distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson.
Resposta
(a)
(b) Para e
,
(b) Para