Seja um evento caracterizado pela probabilidade p. (a) Qual é a probabilidade W(n) dele ocorrer n vezes num total de N tentativas?
(b) Se p for muito pequeno, mostre que
W(n) sim lambda^nn! exp (-lambda)
onde lambda=N p.

Passo 1

O problema pede a probabilidade de um evento ocorrer exatamente n vezes em N tentativas independentes, sabendo que em cada tentativa a probabilidade de sucesso é p. O conteúdo principal é distribuição binomial e a aproximação para distribuição de Poisson no limite de pll1.

Passo 2

Para modelar esse tipo de problema usamos a distribuição binomial. A probabilidade de ter exatamente n sucessos em N ensaios independentes é dada por
W(n)=binomNnp^n(1-p)^N-n
Aqui, binomNn conta de quantas maneiras podemos escolher as n tentativas que serão sucesso, p^n é a probabilidade de esses n serem sucesso e (1-p)^N-n é a probabilidade de os demais falharem.

Passo 3

Agora vamos à aproximação para p muito pequeno, definindo lambda=Np fixo. Primeiro, o coeficiente binomial se comporta como
binomNn=N(N-1)cdots(N-n+1)n!approxN^nn! \nquando N é grande e n fica fixo. Além disso,
p^n=l(lambdaNr)^n
e
(1-p)^N-n=(1-p)^N,(1-p)^-napprox e^-Np=e^-lambda,
pois (1-p)^-napprox1 para pll1 e usamos (1-p)^Napprox e^-Np.

Passo 4

Juntando tudo, temos
W(n)approxN^nn!l(lambdaNr)^n e^-lambda =lambda^nn!e^-lambda
Isso mostra que, no limite de pto0 com lambda=Np constante, a distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson.

Resposta

(a) W(n)=binomNnp^n(1-p)^N-n
(b) Para pll1 e lambda=Np,
W(n)simlambda^nn!exp(-lambda)

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