Considere a lagrangiana dependente explicitamente do tempo
a qual descreve o movimento unidimensional de uma partícula de massa
, sendo
uma constante. Qual é a equação de movimento do sistema?
Passo 1
O enunciado dá a lagrangiana
com
e
constantes, e pede: qual é a equação de movimento do sistema?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A lagrangiana depende explicitamente do tempo através do fator
. - A variável dinâmica é
; a derivada temporal é . - Deve-se aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar). A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada
é
Explicando cada termo:
-
é a derivada parcial de em relação a , tratando e como constantes. -
aplica-se ao resultado anterior (derivada temporal total). -
é a derivada parcial de em relação a , tratando e como constantes.
Passo 3
Calcular
. Como o fator
não depende de
, ele é tratado como constante na derivada parcial. Temos
Explicação: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular
. Aplicando a regra do produto (porque
é produto de
por
):
Fatorando
:
Passo 5
Calcular
. Aqui
é constante na derivada parcial e a derivada de
em relação a
é
. Portanto
Passo 6
Substituir os termos encontrados na equação de Euler–Lagrange:
Simplificando (somando o sinal negativo):
Passo 7
Dividir ambos os lados por
. Justificativa:
é massa (assume-se
) e
para todo
, logo o fator não é zero. Obtemos a equação de movimento reduzida:
Passo 8
Interpretação curta (motivacional): essa é a equação do oscilador harmônico amortecido com coeficiente de amortecimento
. Se precisar, a gente pode resolver explicitamente para
em função dos regimes subamortecido, crítico e superamortecido — diz se quer que eu faça!