Considere a lagrangiana dependente explicitamente do tempo
L(q, \dot{q}, t)=\left(\frac{1}{2} m \dot{q}^{2}-\frac{m \omega^{2} q^{2}}{2}\right) e^{2 \gamma t}
a qual descreve o movimento unidimensional de uma partícula de massa m, sendo \gamma uma constante. Qual é a equação de movimento do sistema?

Passo 1

O enunciado dá a lagrangiana
L(q,\dot{q},t)=\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}-\frac{1}{2}m\omega^{2}q^{2}\right)e^{2\gamma t},
com m e \gamma constantes, e pede: qual é a equação de movimento do sistema?
Informações relevantes:
  • A lagrangiana depende explicitamente do tempo através do fator e^{2\gamma t}.
  • A variável dinâmica é q(t); a derivada temporal é \dot{q}(t)=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t.
  • Deve-se aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar). A equação de Euler–Lagrange para uma coordenada q é
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Explicando cada termo:
  • \partial L/\partial \dot{q} é a derivada parcial de L em relação a \dot{q}, tratando q e t como constantes.
  • \mathrm{d}/\mathrm{d}t aplica-se ao resultado anterior (derivada temporal total).
  • \partial L/\partial q é a derivada parcial de L em relação a q, tratando \dot{q} e t como constantes.

Passo 3

Calcular \partial L/\partial \dot{q}. Como o fator e^{2\gamma t} não depende de \dot{q}, ele é tratado como constante na derivada parcial. Temos
\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial}{\partial \dot{q}}\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^{2}\right)e^{2\gamma t} = m\dot{q}\,e^{2\gamma t}.
Explicação: a derivada de \tfrac{1}{2}m\dot{q}^2 em relação a \dot{q} é m\dot{q}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right). Aplicando a regra do produto (porque \partial L/\partial\dot{q}=m\dot{q}\,e^{2\gamma t} é produto de \dot{q} por e^{2\gamma t}):
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(m\dot{q}\,e^{2\gamma t}\right) = m\ddot{q}\,e^{2\gamma t} + m\dot{q}\,(2\gamma e^{2\gamma t}).
Fatorando m e^{2\gamma t}:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) = m e^{2\gamma t}\!\left(\ddot{q}+2\gamma\dot{q}\right).

Passo 5

Calcular \partial L/\partial q. Aqui e^{2\gamma t} é constante na derivada parcial e a derivada de -\tfrac{1}{2}m\omega^{2}q^{2} em relação a q é -m\omega^{2}q. Portanto
\frac{\partial L}{\partial q} = -m\omega^{2}q\,e^{2\gamma t}.

Passo 6

Substituir os termos encontrados na equação de Euler–Lagrange:
m e^{2\gamma t}\!\left(\ddot{q}+2\gamma\dot{q}\right) - \big(-m\omega^{2}q\,e^{2\gamma t}\big) = 0.
Simplificando (somando o sinal negativo):
m e^{2\gamma t}\!\left(\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+\omega^{2}q\right)=0.

Passo 7

Dividir ambos os lados por m e^{2\gamma t}. Justificativa: m é massa (assume-se m\neq0) e e^{2\gamma t}>0 para todo t, logo o fator não é zero. Obtemos a equação de movimento reduzida:
\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+\omega^{2}q=0.

Passo 8

Interpretação curta (motivacional): essa é a equação do oscilador harmônico amortecido com coeficiente de amortecimento 2\gamma. Se precisar, a gente pode resolver explicitamente para q(t) em função dos regimes subamortecido, crítico e superamortecido — diz se quer que eu faça!

Resposta

\ddot{q}+2\gamma\dot{q}+\omega^{2}q=0

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