Uma partícula que se movimenta num campo elétrico tem velocidade dada pela equação vec{v}=(3,0 t+2,0) \hat{i}+\left(2,0 t^{2}+5,0 t-10\right) \hat{j}+10 \hat{k} sendo a velocidade medida em \mathrm{m} / \mathrm{s} e o tempo em segundos. A posição da partícula no é vec{r}(0)=5,0 \hat{i}-3,0 \hat{j}+4,0 \hat{k}(\mathrm{~m}). Determine:
(RA2) A aceleração média entre t=0 \mathrm{~s} e t=2,0 \mathrm{~s};

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a aceleração média entre t=0{,}0\\ \mathrm{s} e t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
  • Velocidade dependente do tempo:
\vec{v}(t) = \bigl(3{,}0\,t + 2{,}0\bigr)\,\hat{i} + \bigl(2{,}0\,t^{2} + 5{,}0\,t - 10\bigr)\,\hat{j} + 10\,\hat{k}.
  • Posição inicial (fornecida, mas não necessária para esta parte):
\vec{r}(0)=5{,}0\,\hat{i}-3{,}0\,\hat{j}+4{,}0\,\hat{k}\\ (\mathrm{m}).
  • Intervalo de tempo pedido: de t_{1}=0{,}0\\ \mathrm{s} até t_{2}=2{,}0\\ \mathrm{s}.
O que se pede (objetivo): calcular a aceleração média da partícula no intervalo [0{,}0,\;2{,}0].

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A aceleração média é a razão entre a variação da velocidade vetorial e o intervalo de tempo. Em notação,
\bar{\vec{a}}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}(t_{2})-\vec{v}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
  • Aqui:
    • \bar{\vec{a}} é a aceleração média vetorial no intervalo,
    • \vec{v}(t_{1}) e \vec{v}(t_{2}) são as velocidades vetoriais nos instantes inicial e final,
    • \Delta t=t_{2}-t_{1} é o comprimento do intervalo de tempo.
      Essa fórmula funciona componente a componente: calcular a diferença de cada componente da velocidade e dividir por \Delta t.

Passo 3

Calcular a velocidade no instante inicial t_{1}=0{,}0\\ \mathrm{s}. Substituir t=0{,}0 nas componentes de \vec{v}(t):
  • Componente x (eixo \hat{i}):
v_{x}(0{,}0)=3{,}0\cdot 0{,}0 + 2{,}0 = 2{,}0.
  • Componente y (eixo \hat{j}):
v_{y}(0{,}0)=2{,}0\cdot 0{,}0^{2} + 5{,}0\cdot 0{,}0 - 10 = -10{,}0.
  • Componente z (eixo \hat{k}):
v_{z}(0{,}0)=10.
Portanto
\vec{v}(0{,}0)=2{,}0\,\hat{i}-10{,}0\,\hat{j}+10{,}0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade no instante final t_{2}=2{,}0\\ \mathrm{s}. Substituir t=2{,}0 nas componentes:
  • Componente x:
v_{x}(2{,}0)=3{,}0\cdot 2{,}0 + 2{,}0 = 6{,}0 + 2{,}0 = 8{,}0.
  • Componente y:
v_{y}(2{,}0)=2{,}0\cdot (2{,}0)^{2} + 5{,}0\cdot 2{,}0 - 10 = 2{,}0\cdot 4{,}0 + 10{,}0 - 10{,}0 = 8{,}0.
  • Componente z:
v_{z}(2{,}0)=10{,}0.
Portanto
\vec{v}(2{,}0)=8{,}0\,\hat{i}+8{,}0\,\hat{j}+10{,}0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a variação de velocidade \Delta\vec{v}=\vec{v}(2{,}0)-\vec{v}(0{,}0) componente a componente:
  • \Delta v_{x}=8{,}0-2{,}0 = 6{,}0.
  • \Delta v_{y}=8{,}0-(-10{,}0) = 8{,}0+10{,}0 = 18{,}0.
  • \Delta v_{z}=10{,}0-10{,}0 = 0{,}0.
Logo
\Delta\vec{v}=6{,}0\,\hat{i}+18{,}0\,\hat{j}+0{,}0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s}.
O intervalo de tempo é
\Delta t = 2{,}0-0{,}0 = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
Agora dividir \Delta\vec{v} por \Delta t componente a componente:
  • a_{x}^{\text{média}}=\dfrac{6{,}0}{2{,}0}=3{,}0.é
  • a_{y}^{\text{média}}=\dfrac{18{,}0}{2{,}0}=9{,}0.é
  • a_{z}^{\text{média}}=\dfrac{0{,}0}{2{,}0}=0{,}0.é

Passo 6

Escrever o resultado final como vetor aceleração média, com unidade:
\bar{\vec{a}} = 3{,}0\,\hat{i} + 9{,}0\,\hat{j} + 0{,}0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

\bar{\vec{a}} = 3{,}0\,\hat{i} + 9{,}0\,\hat{j} + 0{,}0\,\hat{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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