Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo o x e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções x(t), v(t) e a(t), respectivamente, com x em metros e t em segundos. Determine:
x(t) e v(t) se a(t)=3 t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Informação: a aceleração é \,a(t)=3t\, (com a em \mathrm{m/s^2} e t em s).
  • Informação: a partícula está inicialmente em repouso e na origem, isto é: v(0)=0,\qquad x(0)=0.
  • Perguntas: determinar \,v(t)\, e \,x(t)\,.
Isto é tudo o que foi dado. A partir daqui vamos usar as relações entre aceleração, velocidade e posição para achar v(t) e x(t).

Passo 2

Lembra da relação entre as grandezas: a aceleração é a derivada da velocidade e a segunda derivada da posição. Escrevendo isso em fórmulas:
a(t)=\frac{d v}{d t}=\frac{d^2 x}{d t^2}.
Isto significa que, para obter v(t) a partir de a(t) precisamos integrar a(t) em relação a t. Integração é a operação inversa da derivação. Quando fazemos uma integral indefinida, aparece uma constante de integração (que depois determinamos pelas condições iniciais).

Passo 3

Integramos \,a(t)=3t\, para obter v(t). A integral de t em relação a t segue a regra geral \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Aplicando com n=1:
v(t)=\int 3t\,dt = 3\int t\,dt = 3\cdot\frac{t^2}{2} + C_1 = \frac{3}{2}\,t^2 + C_1.
Aqui C_1 é a constante de integração (tem unidade de \mathrm{m/s}) que iremos determinar usando v(0)=0.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial v(0)=0. Substituindo t=0 em \,v(t)=\dfrac{3}{2}t^2+C_1\, obtemos:
v(0)=\frac{3}{2}\cdot 0^2 + C_1 = C_1.
Como v(0)=0, então C_1=0. Logo
v(t)=\frac{3}{2}\,t^2.

Passo 5

Agora obtemos x(t) integrando v(t). Usamos v(t)=\dfrac{3}{2}t^2 e integramos:
x(t)=\int v(t)\,dt = \int \frac{3}{2}\,t^2\,dt = \frac{3}{2}\cdot\frac{t^3}{3} + C_2 = \frac{1}{2}\,t^3 + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração (com unidade de metros) que será determinada pela condição x(0)=0.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial x(0)=0. Substituindo t=0 em \,x(t)=\dfrac{1}{2}t^3+C_2\, temos:
x(0)=\frac{1}{2}\cdot 0^3 + C_2 = C_2.
Como x(0)=0, segue C_2=0. Portanto
x(t)=\frac{1}{2}\,t^3.

Passo 7

Cheque rápido (para ter certeza): calcule \dfrac{d x}{d t} a partir de x(t):
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}t^3\right)=\frac{3}{2}t^2,
que é exatamente v(t). E calcule \dfrac{d v}{d t}:
\frac{d}{dt}\left(\frac{3}{2}t^2\right)=3t,
que é a(t). As constantes iniciais foram satisfeitas. Tudo bate.

Resposta

v(t)=\dfrac{3}{2}\,t^2
x(t)=\dfrac{1}{2}\,t^3

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