Uma partícula que está incialmente em repouso e na origem se move ao longo do eixo
e tem as suas posição, velocidade e aceleração expressas pelas funções
,
e
, respectivamente, com
em metros e
em segundos. Determine:
e
se
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Informação: a aceleração é
(com em e em s). - Informação: a partícula está inicialmente em repouso e na origem, isto é:
- Perguntas: determinar
e .
Isto é tudo o que foi dado. A partir daqui vamos usar as relações entre aceleração, velocidade e posição para achar
e
.
Passo 2
Lembra da relação entre as grandezas: a aceleração é a derivada da velocidade e a segunda derivada da posição. Escrevendo isso em fórmulas:
Isto significa que, para obter
a partir de
precisamos integrar
em relação a
. Integração é a operação inversa da derivação. Quando fazemos uma integral indefinida, aparece uma constante de integração (que depois determinamos pelas condições iniciais).
Passo 3
Integramos
para obter
. A integral de
em relação a
segue a regra geral
para
. Aplicando com
:
Aqui
é a constante de integração (tem unidade de
) que iremos determinar usando
.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
obtemos:
Como
, então
. Logo
Passo 5
Agora obtemos
integrando
. Usamos
e integramos:
onde
é outra constante de integração (com unidade de metros) que será determinada pela condição
.
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
temos:
Como
, segue
. Portanto
Passo 7
Cheque rápido (para ter certeza): calcule
a partir de
:
que é exatamente
. E calcule
:
que é
. As constantes iniciais foram satisfeitas. Tudo bate.