Uma partícula instável de alta energia entra em um detector e deixa um rastro com 1,05 mm de comprimento, viajando a uma velocidade de 0,992 c, antes de decair. Qual é o tempo de vida próprio da partícula? Em outras palavras, quanto tempo a partícula levaria para decair se estivesse em repouso em relação ao detector?

Passo 1

O enunciado nos dá o comprimento do rastro percorrido pela partícula no detector, que é L = 1{,}05\\ \text{mm}, e a velocidade da partícula, que é v = 0{,}992\,c. Precisamos achar o tempo de vida próprio \Delta \tau da partícula, isto é, o tempo que ela “veria” passar no seu próprio referencial antes de decair. Para isso, vamos usar a fórmula da dilatação temporal da Relatividade Restrita:
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde \Delta t é o tempo medido no laboratório e \gamma é o fator de Lorentz.

Passo 2

Calculamos primeiro o fator de Lorentz \gamma. Lembrando que \beta = v/c,
\beta = 0{,}992,
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}992)^2}} \approx 7{,}93.

Passo 3

Em seguida, obtemos o tempo medido no laboratório \Delta t como o tempo que a partícula leva para percorrer L à velocidade v:
L = 1{,}05\\ \text{mm} = 1{,}05 \times 10^{-3}\\ \text{m},
v = 0{,}992\,c \quad\text{com}\quad c = 3{,}0\times10^8\\ \text{m/s},
\Delta t = \frac{L}{v} = \frac{1{,}05\times10^{-3}}{0{,}992\,(3{,}0\times10^8)} \approx 3{,}53\times10^{-12}\\ \text{s}.

Passo 4

Agora aplicamos a relação da dilatação de tempo para obter o tempo próprio \Delta \tau:
\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma} = \frac{3{,}53\times10^{-12}}{7{,}93} \approx 4{,}45\times10^{-13}\\ \text{s}.

Resposta

O tempo de vida próprio da partícula é aproximadamente
4{,}5\times10^{-13}\\ \text{s}.

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