De volta para o futuro. Suponha que um astronauta é 20,00 anos mais velho que a filha. Depois de passar 4.000 anos (no seu referencial) viajando pelo universo com velocidade constante, em uma viagem de ida e volta, descobre, ao chegar à Terra, que está 20,00 anos mais moço que a filha. Determine o parâmetro de velocidade b da nave do astronauta em relação à Terra.

Passo 1

O enunciado diz que um astronauta é inicialmente 20,00 anos mais velho que a filha. Ele viaja numa nave com velocidade constante de ida e volta, de modo que, em seu próprio referencial, o tempo total da viagem é \Delta \tau = 4000 anos. Ao retornar à Terra, ele passa a ser 20,00 anos mais jovem que a filha. Precisamos usar o efeito de dilatação do tempo da Relatividade Restrita para relacionar o tempo próprio \Delta \tau do astronauta com o tempo \Delta t decorrido na Terra, e então achar o parâmetro de velocidade \beta = v/c.

Passo 2

No referencial da Terra, o tempo decorrido durante a viagem é dilatado conforme
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
é o fator de Lorentz. Portanto, a filha (que permanece na Terra) envelhece \Delta t anos.

Passo 3

Seja A_f a idade inicial do pai e A_d a idade inicial da filha. Temos
A_f = A_d + 20.
Após a viagem, o pai envelhece \Delta \tau = 4000 anos, ficando com
A_f' = A_f + 4000 = A_d + 20 + 4000 = A_d + 4020.
A filha envelhece \Delta t, ficando com
A_d' = A_d + \Delta t.
O enunciado diz que, ao final, o pai passa a ser 20 anos mais jovem que a filha, ou seja,
A_f' = A_d' - 20.
Substituindo A_f' e A_d' obtemos
A_d + 4020 = \bigl(A_d + \Delta t\bigr) - 20 \quad\Longrightarrow\quad 4020 = \Delta t - 20 \quad\Longrightarrow\quad \Delta t = 4040.

Passo 4

Igualando com a dilatação de tempo, temos
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau \;\Longrightarrow\; 4040 = \gamma \times 4000 \;\Longrightarrow\; \gamma = \frac{4040}{4000} = 1{,}01.

Passo 5

Finalmente, o parâmetro de velocidade \beta é dado por
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}01)^2}} \approx \sqrt{1 - 0{,}9803} \approx 0{,}1404.

Resposta

\beta \approx 0{,}14

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