Uma espaçonave cujo comprimento de repouso é 130 m passa por uma base espacial a uma velocidade de 0,740 c. (a) Qual é o comprimento da nave no referencial da base? (b) Qual é o intervalo de tempo registrado pelos tripulantes da base entre a passagem da proa e a passagem da popa da espaçonave?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma espaçonave de comprimento de repouso L_0 = 130\\ \mathrm{m} que passa por uma base espacial com velocidade v = 0,740\,c. Precisamos calcular:
(a) o comprimento da nave medido no referencial da base (comprimento contraído),
(b) o intervalo de tempo entre a passagem da proa e da popa medido pelos tripulantes da base.
O que vamos usar é a contração de comprimentos e a relação \Delta t = L/v para eventos no mesmo ponto do referencial da base.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz \gamma. Como definimos \beta = v/c = 0,740,
\gamma = \frac{1}{\sqrt{\,1 - \beta^2\,}}
Logo, numericamente,
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,740)^2}} \approx 1,487

Passo 3

Usar a fórmula da contração de comprimentos:
L = \frac{L_0}{\gamma}
Substituindo L_0 = 130\\ \mathrm{m} e \gamma \approx 1,487,
L \approx \frac{130}{1,487} \approx 87{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Para o intervalo de tempo \Delta t medido na base entre a proa e a popa passando pelo mesmo ponto, usamos
\Delta t = \frac{L}{v}.
Como L \approx 87{,}4\\ \mathrm{m} e v = 0,740\,c = 0,740 \times 3,00\times10^8\\ \mathrm{m/s} \approx 2,22\times10^8\\ \mathrm{m/s}, temos
\Delta t \approx \frac{87{,}4}{2,22\times10^8}\\ \mathrm{s} \approx 3,94\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) L \approx 87{,}4\\ \mathrm{m}.
(b) \Delta t \approx 3,94\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

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