O comprimento de uma espaçonave em um referencial é metade do comprimento de repouso. (a) Qual é, com três algarismos significativos, o parâmetro de velocidade B da espaçonave no referencial do observador? (b) Qual é a relação entre a rapidez da passagem do tempo no referencial da nave e no referencial do observador?

Passo 1

O enunciado diz que, no referencial do observador, o comprimento medido da espaçonave é metade do seu comprimento de repouso. Isto envolve o efeito de contração de comprimentos da Relatividade Restrita, cuja fórmula é
L = L_{0}\,\sqrt{1-\beta^{2}},
onde \beta = v/c. Além disso, para a relação entre os intervalos de tempo usamos a dilatação de tempo:
\Delta t_{\text{obs}} = \gamma\,\Delta \tau_{\text{nave}},
com \gamma = 1/\sqrt{1-\beta^{2}}.

Passo 2

Aplicar a contração de comprimento L = L_{0}/2 na fórmula
\frac{L_{0}}{2} = L_{0}\,\sqrt{1-\beta^{2}}
e cancelar L_{0}, ficando
\frac12 = \sqrt{1-\beta^{2}} \quad\Longrightarrow\quad 1-\beta^{2} = \frac14 \quad\Longrightarrow\quad \beta^{2} = \frac34.

Passo 3

Extrair \beta:
\beta = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660\ldots
Com três algarismos significativos, \beta = 0{,}866.

Passo 4

Para a dilatação do tempo, invertemos a fórmula da dilatação, escrevendo o ritmo de passagem do tempo na nave \Delta \tau_{\text{nave}} em função do intervalo medido pelo observador \Delta t_{\text{obs}}:
\Delta \tau_{\text{nave}} = \frac{\Delta t_{\text{obs}}}{\gamma} = \Delta t_{\text{obs}}\;\sqrt{1-\beta^{2}}.

Passo 5

Como já vimos que \sqrt{1-\beta^{2}} = 1/2, temos
\Delta \tau_{\text{nave}} = \frac{1}{2}\,\Delta t_{\text{obs}}.
Isto significa que, do ponto de vista do observador, o tempo na nave passa com metade da velocidade do seu relógio próprio.

Resposta

(a) \beta = 0{,}866.
(b) O tempo na nave passa à metade da rapidez do tempo no referencial do observador.

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