6- Uma partícula de 2 Kg se move com velocidade constante de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num plano xy na direção dos y positivos, ao longo da reta x=5 \mathrm{~m}. (a) Calcular o momento angular L em relação à origem. (b) Qual o torque, em relação à origem, necessário para manter este movimento?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa 2\:\mathrm{kg} move-se com velocidade constante de 3\:\mathrm{m/s} ao longo da reta x=5\:\mathrm{m}, na direção dos eixos y positivos. O conteúdo envolvido é momento angular e torque, e vamos usar as definições \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}
e \boldsymbol{\tau} = \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}.

Passo 2

Em cada instante t, o vetor posição da partícula em relação à origem é \displaystyle \mathbf{r}(t) = (5,\;y(t),\;0),
e sua velocidade é \mathbf{v} = (0,\;3,\;0).
Logo, o momento linear é
\mathbf{p} = m\,\mathbf{v} = 2\,(0,3,0) = (0,6,0)\quad\bigl[\mathrm{kg\cdot m/s}\bigr].

Passo 3

Para calcular o momento angular, fazemos o produto vetorial
\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}
\mathbf{L} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 5 & y & 0 \\[3pt] 0 & 6 & 0 \end{vmatrix} = \bigl(0,\;0,\;5\cdot6 - y\cdot0\bigr) = (0,0,30).
Portanto, como vetor \mathbf{L} = 30\,\mathbf{k}
e em módulo \;L = 30\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}.]

Passo 4

Como \mathbf{L} não depende de t (nem de y), ele é constante, logo
\boldsymbol{\tau} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{0}.

Resposta

(a) \mathbf{L}=30\,\mathbf{k}\:\mathrm{kg\cdot m^2/s}.
(b) \boldsymbol{\tau}=\mathbf{0}.

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