7- Um carrossel, de 2 m de raio e momento de inércia 500 \mathrm{Kgm}^{2}, gira a 0.25 rps . Uma criança, de massa 25 Kg , sentada inicialmente no centro, desloca-se em direção à borda. Calcular (a) a velocidade angular adquirida pelo carrossel e (b) a energia cinética inicial e final, quando a criança está parada na borda.

Passo 1

O enunciado dá um carrossel de raio R=2 m e momento de inércia I_{\text{c}}=500, \mathrm{kg\,m^2}, girando a 0{,}25 rps, e uma criança de massa m=25,kg inicialmente no centro. Quando essa criança se desloca até a borda, o momento de inércia do sistema aumenta e a velocidade angular muda. Para resolver, usaremos conservação do momento angular e depois calcularemos as energias cinéticas inicial e final.

Passo 2

Convertemos a velocidade angular inicial de rotações por segundo para rad/s e calculamos o momento de inércia inicial do sistema.
A velocidade angular inicial é
\omega_i = 0{,}25 \times 2\pi = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad/s}.
Como a criança está no centro r=0, o momento de inércia total inicial é
I_i = I_{\text{c}} + m\cdot0^2 = 500 + 25\cdot0 = 500\\ \mathrm{kg\,m^2}.

Passo 3

A conservação do momento angular diz
L_i = L_f \quad\Longrightarrow\quad I_i\,\omega_i = I_f\,\omega_f.
Quando a criança vai para a borda, seu momento de inércia passa a ser mR^2 = 25\cdot2^2 = 100, \mathrm{kg\,m^2}. Logo
I_f = I_{\text{c}} + mR^2 = 500 + 100 = 600\\ \mathrm{kg\,m^2}.
Isolando \omega_f,
\omega_f = \frac{I_i\,\omega_i}{I_f} = \frac{500 \times \frac{\pi}{2}}{600} = \frac{250\pi}{600} = \frac{5\pi}{12}\\ \text{rad/s} \approx 1{,}31\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calculamos a energia cinética inicial, que é puramente de rotação do carrossel (a criança no centro não contribui):
K_i = \tfrac12\,I_i\,\omega_i^2 = \tfrac12 \times 500 \times \Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^{\!2} = 250 \times \frac{\pi^2}{4} = 62{,}5\,\pi^2 \approx 616{,}9\\ \text{J}.

Passo 5

A energia cinética final, com o novo momento de inércia I_f e \omega_f, é
K_f = \tfrac12\,I_f\,\omega_f^2 = \tfrac12 \times 600 \times \Bigl(\frac{5\pi}{12}\Bigr)^{\!2} = 300 \times \frac{25\pi^2}{144} = \frac{7500\,\pi^2}{144} = \frac{625\,\pi^2}{12} \approx 513{,}0\\ \text{J}.

Resposta

(a) \omega_f = \tfrac{5\pi}{12}\\ \text{rad/s}\approx1{,}31\\ \text{rad/s}.
(b) K_i \approx 616{,}9\\ \text{J} e K_f \approx 513{,}0\\ \text{J}.

Exercícios relacionados