Questāo 3) Um capacitor de placas paralelas com área das placas igual a 2000 \mathrm{~cm}^{2} e distância entre elas de 1 cm foi carregado até apresentar uma diferença de potencial de V_{0}=4000 \mathrm{~V}. A seguir, um isolante é inserido entre as placas (antes era vácuo) preenchendo completamente o espaço entre as placas. A diferença de potencial diminui para 1000 V , enquanto a carga do capacitor permanece constante. Calcule: (a) a capacitância C após inserir o dielétrico; (b) o que se pede a seguir?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
  • Área das placas: A=2000\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • Distância entre as placas: d=1\\ \mathrm{cm}.
  • Capacitor inicialmente no vácuo é carregado até uma diferença de potencial inicial \,V_{0}=4000\\ \mathrm{V}\,.
  • Depois de inserir completamente um isolante entre as placas (preenchendo todo o espaço), a diferença de potencial passa a ser \,V=1000\\ \mathrm{V}\,.
  • A carga do capacitor permanece constante durante o processo.
    O enunciado pede:
    (a) calcular a capacitância C após inserir o dielétrico;
    (b) determinar a consequência solicitada a seguir — aqui vou interpretar que se pede a constante dielétrica (permittividade relativa) do isolante, pois isso é o que normalmente se pede nesse tipo de problema.

Passo 2

Vamos organizar as ideias e as fórmulas básicas que vamos usar (explicando cada coisa com calma).
  • A capacitância de um capacitor de placas paralelas no vácuo é dada por
C_{0}=\varepsilon_{0}\frac{A}{d},
onde:
  • \,C_{0} é a capacitância inicial (antes de inserir o dielétrico),
  • \,\varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante física), cujo valor é aproximadamente \varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • \,A é a área das placas (em metros quadrados),
  • \,d é a distância entre as placas (em metros).
  • Quando se insere totalmente um dielétrico homogêneo entre as placas, a capacitância passa a ser
C=\kappa\,C_{0}=\kappa\,\varepsilon_{0}\frac{A}{d},
onde \kappa é a constante dielétrica (permittividade relativa) do material.
  • A carga do capacitor é \,Q=C\,V. Se a carga permanece constante ao inserir o dielétrico, então
Q=C_{0}V_{0}=C\,V.
Dessa igualdade podemos obter uma relação simples entre as capacitâncias e as tensões.

Passo 3

Converter unidades (isso é super importante para não errar contas):
  • Área: A=2000\\ \mathrm{cm}^{2}. Como 1\\ \mathrm{cm}^{2}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}, então
A=2000\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}=0,2\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Distância: d=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a capacitância inicial C_{0} (no vácuo) usando a fórmula \,C_{0}=\varepsilon_{0}A/d.
Substituindo os valores:
C_{0}=\left(8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\right)\frac{0,2\\ \mathrm{m}^{2}}{0,01\\ \mathrm{m}} =8,854\times10^{-12}\times20\\ \mathrm{F}.
Fazendo a multiplicação:
C_{0}=1,7708\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
(Esse é o valor da capacitância antes do dielétrico.)

Passo 5

Usar a condição de carga constante para achar C após inserir o dielétrico.
A carga inicial é Q=C_{0}V_{0}. Após inserir o dielétrico, a mesma carga vale Q=C\,V. Igualando:
C_{0}V_{0}=C\,V \quad\Rightarrow\quad C=C_{0}\frac{V_{0}}{V}.
Substituindo \,V_{0}=4000\\ \mathrm{V} e \,V=1000\\ \mathrm{V}:
C=C_{0}\frac{4000}{1000}=C_{0}\times4.

Passo 6

Calcular numericamente C:
C=4\times C_{0}=4\times1,7708\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=7,0832\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Para dar formatos mais usuais:
C=7,0832\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=708,32\times10^{-12}\\ \mathrm{F}=708,32\\ \mathrm{pF}\approx0,708\\ \mathrm{nF}.

Passo 7

Determinar a constante dielétrica \kappa.
Pelo que vimos, C=\kappa C_{0}. Portanto
\kappa=\frac{C}{C_{0}}=\frac{V_{0}}{V}=\frac{4000}{1000}=4.
Isso significa que o dielétrico tem permissividade relativa \kappa=4 (ou seja, sua permissividade absoluta \varepsilon=\kappa\varepsilon_{0}=4\varepsilon_{0}).

Resposta

(a) C=7,0832\times10^{-10}\\ \mathrm{F} \approx708,3\\ \mathrm{pF} \approx0,708\\ \mathrm{nF}\n
(b) constante dielétrica \kappa=4

Exercícios relacionados