Uma partícula é lançada do topo de uma mesa com 1,0 \mathrm{~m} de altura. Tal lançamento é caracterizado por uma velocidade inicial de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e 50^{\circ} de inclinação com a horizontal. Em relação a base da mesa: (a) qual a altura e (b) que distância horizontal percorreu a partícula meio segundo após o lançamento? Neste caso, (c) qual a velocidade da partícula (módulo e direção)? (d) Qual a aceleração (justifique)? (e) A partícula está subindo ou descendo (justifique)?

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento oblíquo de uma partícula a partir do topo de uma mesa de altura y_{0}=1,0\\ \mathrm{m}, com velocidade inicial v_{0}=5,0\\ \mathrm{m/s} num ângulo de \alpha=50^\circ acima da horizontal. Queremos no instante t=0{,}5\\ \mathrm{s}:
(a) a altura em relação à base da mesa,
(b) a distância horizontal percorrida,
(c) o módulo e direção da velocidade,
(d) a aceleração e sua justificativa,
(e) se a partícula está subindo ou descendo e por quê.

Passo 2

Primeiro decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical usando trigonometria:
v_{0x} = v_{0}\cos\alpha,\quad v_{0y} = v_{0}\sin\alpha
Substituindo v_{0}=5{,}0 e \alpha=50^\circ:
v_{0x} = 5{,}0\cos50^\circ \approx 3{,}21\\ \mathrm{m/s},\quad v_{0y} = 5{,}0\sin50^\circ \approx 3{,}83\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A posição vertical em t=0{,}5\\ \mathrm{s} é dada por
y(t)=y_{0}+v_{0y}\,t - \tfrac12 g\,t^{2},
com g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Logo,
y(0{,}5)=1{,}0 + 3{,}83\cdot0{,}5 - \tfrac12\cdot9{,}8\cdot(0{,}5)^{2} =1{,}0 + 1{,}915 - 1{,}225 = 1{,}69\\ \mathrm{m}.

Passo 4

A posição horizontal em t=0{,}5\\ \mathrm{s} é
x(t)=v_{0x}\,t,
pois não há aceleração horizontal. Assim,
x(0{,}5)=3{,}21\cdot0{,}5 = 1{,}61\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A velocidade em t=0{,}5\\ \mathrm{s} tem componentes
v_x(t)=v_{0x}=3{,}21\\ \mathrm{m/s},\quad v_y(t)=v_{0y}-g\,t=3{,}83 - 9{,}8\cdot0{,}5 = -1{,}07\\ \mathrm{m/s}.
O módulo e a direção (ângulo \theta em relação à horizontal) são
|\vec v| = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} = \sqrt{3{,}21^{2} + (-1{,}07)^{2}} \approx 3{,}39\\ \mathrm{m/s},
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-1{,}07}{3{,}21}\bigr) \approx -18{,}4^\circ,
isto é, 18{,}4^\circ abaixo da horizontal.

Passo 6

A única aceleração que age é a gravidade, constante e dirigida para baixo. Portanto
\vec a = (0,\,-g) = (0,\,-9{,}8)\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Como a componente vertical da velocidade em t=0{,}5\\ \mathrm{s} é v_y=-1{,}07\\ \mathrm{m/s}<0, a partícula está descendo, pois seu movimento vertical passou a ter velocidade negativa.

Resposta

(a) 1{,}69\\ \mathrm{m}
(b) 1{,}61\\ \mathrm{m}
(c) 3{,}39\\ \mathrm{m/s}, 18{,}4^\circ abaixo da horizontal
(d) \vec a=(0,\,-9{,}8)\\ \mathrm{m/s^{2}}; é a aceleração da gravidade sempre dirigida para baixo
(e) Está descendo, pois v_y<0 em t=0{,}5\\ \mathrm{s}.

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