1. 1 ) O vetor posição de uma partícula é dado por \vec{r}(t)=\left(6,0 t-2,0 t^{3}\right) \hat{\mathrm{i}}+\left(t^{2}-3,0 t^{3}\right) \hat{\mathrm{j}} em unidades do S.I. Trálido para t \geq 0. (a) Determine os vetores velocidade e aceleração como funções do tempo. (b) Determine os vetores posição, velocidade e aceleração iniciais. (c) Em qual instante a partícula passa pelo eixo ox e com qual velocidade? (d) A que distância a partícula está da origem em t=2,0 \mathrm{~s} e com qual aceleração (módulo e direção)?

Passo 1

O enunciado fornece o vetor posição \vec r(t) = (6,0\,t - 2,0\,t^3)\,\hat{\mathrm i} \;+\;(t^2 - 3,0\,t^3)\,\hat{\mathrm j} para t\ge0. Pede:
a) os vetores velocidade \vec v(t) e aceleração \vec a(t);
b) os valores iniciais em t=0;
c) o instante t>0 em que a partícula cruza o eixo ox (isto é, y=0) e a velocidade nesse instante;
d) a que distância da origem ela está em t=2,0\rm\,s e qual sua aceleração (módulo e direção).
Para isso vamos derivar componente a componente e, quando preciso, resolver equações de segundo e terceiro grau.

Passo 2

Derivando componente a componente obtemos \displaystyle x(t)=6,0\,t-2,0\,t^3 e y(t)=t^2-3,0\,t^3.
Então \displaystyle v_x(t)=\frac{d}{dt}(6,0\,t-2,0\,t^3)=6,0-6,0\,t^2, \displaystyle v_y(t)=\frac{d}{dt}(t^2-3,0\,t^3)=2\,t-9,0\,t^2.
E a aceleração é \displaystyle a_x(t)=\frac{d}{dt}(6,0-6,0\,t^2)=-12,0\,t, \displaystyle a_y(t)=\frac{d}{dt}(2\,t-9,0\,t^2)=2,0-18,0\,t.

Passo 3

Em t=0: \vec r(0)=(6,0\cdot0-2,0\cdot0)\,\hat{\mathrm i}+(0-0)\,\hat{\mathrm j}=(0,0). \vec v(0)=(6,0-6,0\cdot0)\,\hat{\mathrm i}+(0-0)\,\hat{\mathrm j}=(6,0)\,\hat{\mathrm i}. \vec a(0)=(-12,0\cdot0)\,\hat{\mathrm i}+(2,0-18,0\cdot0)\,\hat{\mathrm j}=(0,2,0)\,\hat{\mathrm j}.

Passo 4

Para cruzar o eixo ox basta y(t)=0, ou seja \displaystyle t^2(1-3,0\,t)=0\implies t=0 ou t=\tfrac{1}{3}\,\rm s.
Descartamos t=0 e tomamos t=\tfrac{1}{3}\,\rm s.
Em t=\tfrac{1}{3}: \displaystyle v_x\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=6,0-6,0\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2=6,0-\tfrac{6,0}{9}=6,0-\tfrac{2,0}{3}=\tfrac{16}{3}. \displaystyle v_y\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=2\,\tfrac{1}{3}-9,0\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^2=\tfrac{2}{3}-1,0=-\tfrac{1}{3}.
Logo a velocidade é \bigl(\tfrac{16}{3},-\tfrac{1}{3}\bigr)\rm\,m/s.

Passo 5

Em t=2,0\rm\,s: \displaystyle x(2)=6,0\cdot2-2,0\cdot8=12,0-16,0=-4,0, \displaystyle y(2)=4-3,0\cdot8=4-24=-20.
A distância ao centro é \displaystyle \sqrt{(-4,0)^2+(-20)^2}=\sqrt{16+400}=\sqrt{416}\approx20,396\rm\,m.
A aceleração em t=2,0 é \displaystyle a_x(2)=-12,0\cdot2=-24,0, \displaystyle a_y(2)=2,0-18,0\cdot2=2,0-36,0=-34,0.
O módulo é \displaystyle \sqrt{(-24,0)^2+(-34,0)^2}=\sqrt{576+1156}=\sqrt{1732}\approx41,6\rm\,m/s^2.
E a direção faz ângulo \displaystyle \theta=180^\circ+\arctan\!\bigl(\tfrac{34}{24}\bigr)\approx180^\circ+54,7^\circ=234,7^\circ
em relação ao eixo +x.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v(t)=(6,0-6,0\,t^2)\,\hat{\mathrm i}+(2\,t-9,0\,t^2)\,\hat{\mathrm j}, \displaystyle \vec a(t)=-12,0\,t\,\hat{\mathrm i}+(2,0-18,0\,t)\,\hat{\mathrm j}.
(b) \vec r(0)=(0,0), \vec v(0)=(6,0,0), \vec a(0)=(0,2,0).
(c) Cruza em t=\tfrac{1}{3}\rm\,s com \vec v(\tfrac{1}{3})=(\tfrac{16}{3},-\tfrac{1}{3})\rm\,m/s.
(d) Em t=2,0\rm\,s está a \approx20,396\rm\,m da origem; \vec a(2)=(-24,-34)\rm\,m/s^2, com módulo \approx41,6\rm\,m/s^2 e direção \approx234,7^\circ.

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