Um bloco desce uma rampa inclinada ligado por um fio a uma polia que pode girar. A polia tem massa 0,8 \mathrm{~kg} e raio 0,15 \mathrm{~m}, e o bloco tem 1,5 \mathrm{~kg}. A inclinação é de 30^{\circ}, sem atrito.
a) Determine a aceleração do bloco.
b) Calcule a força de tensão no fio.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=1,5\:\mathrm{kg} deslizando sem atrito por uma rampa inclinada de 30^\circ, preso a uma polia de massa M=0,8\:\mathrm{kg} e raio R=0,15\:\mathrm{m} por um fio sem deslizar. Vamos usar as leis de Newton para translação do bloco e a equação de torques para rotação da polia, sabendo que ela é um cilindro uniforme.

Passo 2

Modelando a polia como um cilindro sólido, seu momento de inércia em relação ao eixo é
I = \tfrac{1}{2}\,M\,R^2.
Como o fio não escorrega, a aceleração linear do bloco a está relacionada à aceleração angular da polia \alpha por
a = \alpha\,R.

Passo 3

Para o bloco aplicamos a segunda lei de Newton ao longo da rampa (eixo positivo para baixo):
m\,g\sin30^\circ - T = m\,a,
onde T é a tensão no fio.
Para a polia, o torque devido a T gera rotação:
T\,R = I\,\alpha = I\,\frac{a}{R}.

Passo 4

Da equação da polia isolamos T:
T = \frac{I}{R^2}\;a = \frac{\tfrac12 M R^2}{R^2}\;a = \tfrac12\,M\,a.
Substituímos T na equação do bloco:
m\,g\sin30^\circ - \tfrac12\,M\,a = m\,a \quad\Longrightarrow\quad a\,(m + \tfrac12 M) = m\,g\sin30^\circ.
Logo
a = \frac{m\,g\,\sin30^\circ}{m + \tfrac12 M} = \frac{1{,}5 \times 9{,}8 \times 0{,}5}{1{,}5 + 0{,}4} = \frac{7{,}35}{1{,}9} \approx 3{,}87\:\mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Para a tensão no fio usamos T = \tfrac12\,M\,a:
T = \tfrac12 \times 0{,}8 \times 3{,}87 \approx 1{,}55\:\mathrm{N}.

Resposta

a) a \approx 3{,}87\:\mathrm{m/s^2}
b) T \approx 1{,}55\:\mathrm{N}

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