Uma partícula livre de massa m e número de onda k1 está viajando para a direita. No ponto x=0, o potencial muda bruscamente de 0 para -V0 e permanece com este valor para todos os valores positivos de x. (a) Se a energia inicial da partícula é E=V0, qual é o número de onda k2 na região x>0 ? Expresse a resposta em termo de k1. (b) Qual é o coeficiente de reflexão R ? (c) Qual é o coeficiente de transmissão T. (d) Para cada 1 milhão de partículas incidente no potencial degrau, em média, quantas continuam a viajar no sentido positivo do eixo x? (e) Como este resultado se compara com a previsão clássica? (f) A velocidade da partícula será maior ou menor após passar pela origem? Respostas: a) 1,414 k 1; b) 0,029 ; c) 0,971 ; d) 0,971 times 10^6.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m e número de onda ,k1 incidindo de x<0 sobre um degrau de potencial que vale 0 para x<0 e -V0 para x>0. A energia da partícula é E=V0. Vamos aplicar as condições de contorno para ondas planas em potenciais constantes: na região x<0 a energia cinética é E, na região x>0 é E+V0. Precisamos achar (a) o novo número de onda k2, (b) o coeficiente de reflexão R, (c) o coeficiente de transmissão T, (d) a média de partículas transmitidas em 10^6 incidentes, (e) comparar com a previsão clássica e (f) verificar se a velocidade aumenta ou diminui após o salto.

Passo 2

A relação entre número de onda e energia cinética em região de potencial constante é
k = raiz2m,Khbar,
onde K é a energia cinética. Em x<0, K=E=V0 k1=raiz2mV0/hbar. Em x>0, K=E+V0=2V0, logo
k2 = raiz2m,(2V0)hbar = raiz2,raiz2mV0hbar = raiz2;k1

Passo 3

O coeficiente de reflexão quântica é dado por
R = |k1-k2k1+k2|^2
Substituindo k2=raiz2,k1 temos
R = (1-raiz2)^2(1+raiz2)^2 approx 0,029

Passo 4

O coeficiente de transmissão de fluxo é
T = 1 - R
ou, alternativamente,
T = 4,k1k2(k1+k2)^2 = 4cdot1cdotraiz2(1+raiz2)^2 approx 0,971

Passo 5

De cada 10^6 partículas que incidem, em média T delas são transmitidas. Assim
Número transmitido = T times 10^6 approx 0,971 times 10^6 = 9,71times10^5 ú

Passo 6

Classicamente, num degrau para baixo de potencial não há reflexão: todas as partículas continuam. Logo a previsão clássica é transmissão de 100%, ou seja 10^6 de 10^6.

Passo 7

A velocidade de grupo é v=hbar k/m. Como k2=raiz2,k1, temos v2=raiz2,v1>v1. A partícula fica mais rápida após o salto de potencial.

Resposta

(a) k2=raiz2,k1approx1,414,k1
(b) Rapprox0,029
(c) Tapprox0,971
(d) Ttimes10^6approx0,971times10^6=9,71times10^5
(e) Classicamente T=1 (nenhuma reflexão)
(f) A velocidade aumenta, pois v2=raiz2,v1.

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