Uma partícula livre de massa e número de onda está viajando para a direita. No ponto , o potencial muda bruscamente de 0 para e permanece com este valor para todos os valores positivos de . (a) Se a energia inicial da partícula é , qual é o número de onda na região ? Expresse a resposta em termo de . (b) Qual é o coeficiente de reflexão ? (c) Qual é o coeficiente de transmissão T. (d) Para cada 1 milhão de partículas incidente no potencial degrau, em média, quantas continuam a viajar no sentido positivo do eixo x? (e) Como este resultado se compara com a previsão clássica? (f) A velocidade da partícula será maior ou menor após passar pela origem? Respostas: a) ; b) 0,029 ; c) 0,971 ; d) .
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa e número de onda incidindo de sobre um degrau de potencial que vale 0 para e para . A energia da partícula é . Vamos aplicar as condições de contorno para ondas planas em potenciais constantes: na região a energia cinética é , na região é . Precisamos achar (a) o novo número de onda , (b) o coeficiente de reflexão , (c) o coeficiente de transmissão , (d) a média de partículas transmitidas em incidentes, (e) comparar com a previsão clássica e (f) verificar se a velocidade aumenta ou diminui após o salto.
Passo 2
A relação entre número de onda e energia cinética em região de potencial constante é
onde é a energia cinética. Em , dá . Em , , logo
Passo 3
O coeficiente de reflexão quântica é dado por
Substituindo k2=raiz2,k1 temos
R = (1-raiz2)^2(1+raiz2)^2 approx 0,029
Passo 4
O coeficiente de transmissão de fluxo é
T = 1 - R
ou, alternativamente,
T = 4,k1k2(k1+k2)^2 = 4cdot1cdotraiz2(1+raiz2)^2 approx 0,971
Passo 5
De cada 10^6 partículas que incidem, em média T delas são transmitidas. Assim
Número transmitido = T times 10^6 approx 0,971 times 10^6 = 9,71times10^5 ú
Passo 6
Classicamente, num degrau para baixo de potencial não há reflexão: todas as partículas continuam. Logo a previsão clássica é transmissão de 100%, ou seja 10^6 de 10^6.
Passo 7
A velocidade de grupo é v=hbar k/m. Como k2=raiz2,k1, temos v2=raiz2,v1>v1. A partícula fica mais rápida após o salto de potencial.
Resposta
(a) k2=raiz2,k1approx1,414,k1
(b) Rapprox0,029
(c) Tapprox0,971
(d) Ttimes10^6approx0,971times10^6=9,71times10^5
(e) Classicamente T=1 (nenhuma reflexão)
(f) A velocidade aumenta, pois v2=raiz2,v1.