Uma partícula em um poço de potencial com paredes infinitas em x=0 e em x=L tem uma função de onda que é dada por phi(x)=raiz (2 / L) sen(2 piL x) (a) Determine a probabilidade de encontrar a partícula entre x=0 e x=L; (b) Determine a probabilidade de encontrar próximo de L/2, calculando a probabilidade de achar a partícula entre 0,490L e 0,510L; (c) Determine a probabilidade de encontrar próximo de L/4, calculando a probabilidade de achar a partícula entre 0,240L e 0,260L; (d) Determine o valor esperado de x. (Respostas: 1; sim 10^-4 ; sim 4 times 10^-2 ; L / 2)

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula no poço de potencial infinito em 0<= x<= L com função de onda
phi(x)=raiz2Lsin!gl(2piLxgr)
O que precisamos usar é que a densidade de probabilidade é lvertphi(x)rvert^2 e que o valor esperado de x é
lang<= xrang<==integral0^Lx,lvertphi(x)rvert^2,dx

Passo 2

Para (a) a probabilidade total em 0<= x<= L é
P[0,L]=integral0^Llvertphi(x)rvert^2,dx =integral0^L2Lsin^2!l(tfrac2piLxr),dx
Usando integral0^Lsin^2!l(tfrac2piLxr)dx=L2, vem
P[0,L]=2LtimesL2=1

Passo 3

Para (b) a probabilidade em 0,490L<= x<=0,510L é
P[0,490L,,0,510L]=integral0,490L^0,510L2Lsin^2!l(tfrac2piLxr),dx
Fazendo a mudança de variável
u=2piLx, então du=2piLdx e os limites vão de u1=0,98pi a u2=1,02pi. Assim
P[0,490L,,0,510L] =2LcdotL2piintegral0.98pi^1.02pisin^2(u),du =1piintegral0.98pi^1.02pisin^2(u),du
Usando
integralsin^2(u),du=u2-sin(2u)4 e avaliando entre 0,98pi e 1,02pi obtém-se numericamente da ordem de 10^-4.

Passo 4

Para (c) a probabilidade em 0,240L<= x<=0,260L segue o mesmo procedimento com u1=0,48pi, u2=0,52pi:
P[0,240L,,0,260L] =1piintegral0.48pi^0.52pisin^2(u),du approx4times10^-2

Passo 5

Para (d) o valor esperado de x é
lang<= xrang<= =integral0^Lx,2Lsin^2!l(tfrac2piLxr),dx
Como sin^2!l(tfrac2piLxr) é simétrica em torno de x=L/2, tem-se
lang<= xrang<==L2

Resposta

(a) 1
(b) sim10^-4
(c) sim4times10^-2
(d) L/2

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