Um elétron com uma energia cinética igual a 10 eV se propaga em uma região com potencial nulo em direção a uma barreira de energia potencial de altura V0=25 eV e largura igual a 1,0 nm. Calcule o valor aproximado da probabilidade de que o elétron penetre e atravesse a barreira. (b) Repita os cálculos para uma largura de 0,1 nm.

Passo 1

O enunciado descreve um elétron com energia cinética E=10 eV incidindo numa barreira retangular de altura V0=25 eV e largura a. Queremos a probabilidade de transmissão (coeficiente de tunelamento) T, usando a solução da equação de Schrödinger para barreira retangular.

Passo 2

Para E<V0 a fórmula exata do coeficiente de transmissão é
T = 11 + V0^24,E,(V0-E),sinh^2(kappa,a),
onde
kappa = raiz2,m,(V0-E)hbar^2

Passo 3

Calcular kappa. Primeiro convertemos (V0-E)=15 eV em joules:
V0-E = 15 times 1,602times10^-19,J = 2,403times10^-18,J
Em seguida,
kappa = raiz2 times 9,11times10^-31,kg;times;2,403times10^-18,J 1,055times10^-34,J,s approx 6,3times10^10,m^-1

Passo 4

Caso (a): a = 1,0 nm =1times10^-9 m. Então
2,kappa,a approx 2 times 6,3times10^10times10^-9 = 126
Como sinh(kappa a)approx tfrac12 e^kappa a para kappa agg1, tem-se
T approx e^-2,kappa a approx e^-126 approx 2times10^-55

Passo 5

Caso (b): a = 0,1 nm =1times10^-10 m. Agora
2,kappa,a approx 2 times 6,3times10^10times10^-10 = 12,6,
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T approx e^-12,6 approx 3times10^-6

Resposta

(a) Tapprox2times10^-55
(b) Tapprox3times10^-6

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