Uma partícula está localizada em \mathbf{r}=0,54 \hat{\mathbf{i}}-0,36 \hat{\mathbf{j}}+ 0,85 \hat{\mathbf{k}}) \mathrm{m}. Uma força constante de intensidade 2,6 \mathrm{~N} atua sobre a partícula. Encontre as componentes do torque em relação à origem quando a força atua no (a) sentido positivo de x e no (b) sentido negativo de z.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em relação à origem
\mathbf{r} = \left(0,54\hat{\mathbf{i}} - 0,36\hat{\mathbf{j}} + 0,85\hat{\mathbf{k}}\right)\,\mathrm{m}
e uma força de módulo 2,6,N que em (a) aponta no sentido positivo de x e em (b) no sentido negativo de z.
O torque em relação à origem é dado por
\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},
cuja componente geral é
\tau_x = yF_z - zF_y,\quad \tau_y = zF_x - xF_z,\quad \tau_z = xF_y - yF_x.

Passo 2

Caso (a): \mathbf{F} = 2,6\,\hat{\mathbf{i}}
Então F_x=2,6, F_y=0, F_z=0. Substituindo em
\tau_x = yF_z - zF_y = 0,\quad \tau_y = zF_x - xF_z = 0,85\cdot2,6 - 0 = 2,21,\quad \tau_z = xF_y - yF_x = 0 -(-0,36)\cdot2,6 = 0,936.
Logo
\boldsymbol{\tau}_{(a)} = 0\,\hat{\mathbf{i}} \;+\;2,21\,\hat{\mathbf{j}}\;+\;0,936\,\hat{\mathbf{k}}\quad(\mathrm{N\cdot m}).

Passo 3

Caso (b): \mathbf{F} = -2,6\,\hat{\mathbf{k}}
Então F_x=0, F_y=0, F_z=-2,6. Substituindo em
\tau_x = yF_z - zF_y = (-0,36)(-2,6) - 0 = 0,936,\quad \tau_y = zF_x - xF_z = 0 - 0,54(-2,6) = 1,404,\quad \tau_z = xF_y - yF_x = 0 - 0 = 0.
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\boldsymbol{\tau}_{(b)} = 0,936\,\hat{\mathbf{i}}\;+\;1,404\,\hat{\mathbf{j}}\;+\;0\,\hat{\mathbf{k}}\quad(\mathrm{N\cdot m}).

Resposta

(a) \boldsymbol{\tau} = 0\,\hat{\mathbf{i}} + 2,21\,\hat{\mathbf{j}} + 0,936\,\hat{\mathbf{k}}
(b) \boldsymbol{\tau} = 0,936\,\hat{\mathbf{i}} + 1,404\,\hat{\mathbf{j}} + 0\,\hat{\mathbf{k}}

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