Uma roda gira com velocidade angular inicial \omega_{0} e sofre uma aceleração angular dada por \alpha(t)=3 A t^{2}-4 B t, sendo t a variável de tempo e A e B constantes positivas. Escreva as equações de (a) velocidade angular da roda e (b) deslocamento angular, em função do tempo para um inseto pousado nessa roda.

Passo 1

O enunciado trata de cinemática rotacional com aceleração angular variável
\alpha(t)=3A\,t^2-4B\,t, onde A e B são constantes positivas, e a velocidade angular inicial é \omega(0)=\omega_0.
Para obter a velocidade angular \omega(t), vamos integrar \alpha(t) em relação ao tempo e usar a condição inicial.
Para obter o deslocamento angular \theta(t), integramos \omega(t) em relação ao tempo, adotando \theta(0)=0 (por simplicidade).

Passo 2

Integramos a aceleração angular para achar a velocidade angular:
\omega(t) = \omega(0) + \int_{0}^{t}\alpha(s)\,ds = \omega_0 + \int_{0}^{t}\bigl(3A\,s^2 - 4B\,s\bigr)\,ds.
Calculando a integral:
\int_{0}^{t}3A\,s^2\,ds = A\,t^3, \qquad \int_{0}^{t}4B\,s\,ds = 2B\,t^2.
Logo,
\omega(t)=\omega_0 + A\,t^3 - 2B\,t^2.

Passo 3

Agora integramos \omega(t) para encontrar o deslocamento angular:
\theta(t) = \theta(0) + \int_{0}^{t}\omega(s)\,ds = 0 + \int_{0}^{t}\bigl(\omega_0 + A\,s^3 - 2B\,s^2\bigr)\,ds.
Calculando termo a termo:
\int_{0}^{t}\omega_0\,ds = \omega_0\,t, \quad \int_{0}^{t}A\,s^3\,ds = \frac{A}{4}\,t^4, \quad \int_{0}^{t}2B\,s^2\,ds = \frac{2B}{3}\,t^3.
Portanto,
\theta(t)=\omega_0\,t + \frac{A}{4}\,t^4 - \frac{2B}{3}\,t^3.

Resposta

(a) \displaystyle \omega(t)=\omega_0 + A\,t^3 - 2B\,t^2.
(b) \displaystyle \theta(t)=\omega_0\,t + \frac{A}{4}\,t^4 - \frac{2B}{3}\,t^3.

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