Um gato (
) dorme em uma tábua (
) de comprimento
presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de
. (a) Calcule a tração em cada barbante. (aproxime o gato a um ponto) O gato então sonha que está andando sobre a tabua e no instante que ele atinge uma das extremidades o barbante daquela extremidade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra extremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. (b) Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente no instante que a corda arrebenta.
para uma tábua de comprimento
girando com eixo no
. (obs: O gato acordou assustado, mas não se feriu… não desta vez!!)
Passo 1
O enunciado descreve uma tábua homogênea de massa
e comprimento
, sustentada horizontalmente por dois barbantes nas extremidades, e um gato de massa
posicionado a uma distância
de uma das extremidades. Na parte (a) precisamos calcular as trações nos dois barbantes em equilíbrio estático. Na parte (b), quando o gato alcança a extremidade e o barbante dessa extremidade arrebenta, a tábua passa a girar em torno do barbante oposto; devemos então achar a aceleração angular instantânea usando o momento de inércia da tábua.
Passo 2
Para a parte (a), em equilíbrio estático vale
onde
e
são as trações nos barbantes da esquerda e da direita, respectivamente, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Escolhendo o ponto de aplicação de
(extremidade esquerda) para somar momentos nulos, temos
Desse modo
Passo 4
Substituindo
em
fica
Passo 5
Para a parte (b), assim que o barbante da direita se rompe, a tábua gira sem atrito em torno do barbante da esquerda (pivô) com o gato agora na extremidade direita (
). A aceleração angular
vem de
Passo 6
Calculamos o momento de inércia total em torno do pivô (extremidade esquerda). Para a tábua:
Para o gato tratado como ponto a
:
Logo
Passo 7
O torque resultante devido à gravidade é
Passo 8
Substituindo em
, vem