Um gato ( 2 m ) dorme em uma tábua ( m ) de comprimento L presa por dois barbantes nas extremidades. O gato esta em uma posição de 3 / 4 L. (a) Calcule a tração em cada barbante. (aproxime o gato a um ponto) O gato então sonha que está andando sobre a tabua e no instante que ele atinge uma das extremidades o barbante daquela extremidade arrebenta. A tabua tende a gira presa na outra extremidade e o gatinho consegue se manter agarrado. (b) Qual é a aceleração angular que o gato sente exatamente no instante que a corda arrebenta. I_{C M}=m L^{2} / 12 para uma tábua de comprimento L girando com eixo no C M. (obs: O gato acordou assustado, mas não se feriu… não desta vez!!)

Passo 1

O enunciado descreve uma tábua homogênea de massa m e comprimento L, sustentada horizontalmente por dois barbantes nas extremidades, e um gato de massa 2m posicionado a uma distância \tfrac{3}{4}L de uma das extremidades. Na parte (a) precisamos calcular as trações nos dois barbantes em equilíbrio estático. Na parte (b), quando o gato alcança a extremidade e o barbante dessa extremidade arrebenta, a tábua passa a girar em torno do barbante oposto; devemos então achar a aceleração angular instantânea usando o momento de inércia da tábua.

Passo 2

Para a parte (a), em equilíbrio estático vale
T_1 + T_2 = (m + 2m)\,g = 3m\,g,
onde T_1 e T_2 são as trações nos barbantes da esquerda e da direita, respectivamente, e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Escolhendo o ponto de aplicação de T_1 (extremidade esquerda) para somar momentos nulos, temos
T_2\,L - m\,g\,(L/2) - 2m\,g\,\bigl(3L/4\bigr) = 0.
Desse modo
T_2 = \frac{m\,g\,(L/2) + 2m\,g\,(3L/4)}{L} = m\,g\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{3}{2}\Bigr) = 2m\,g.

Passo 4

Substituindo T_2 em T_1 + T_2 = 3m\,g fica
T_1 = 3m\,g - 2m\,g = m\,g.

Passo 5

Para a parte (b), assim que o barbante da direita se rompe, a tábua gira sem atrito em torno do barbante da esquerda (pivô) com o gato agora na extremidade direita ( x=L). A aceleração angular \alpha vem de
\alpha = \frac{\tau_{\rm total}}{I_{\rm total}}.

Passo 6

Calculamos o momento de inércia total em torno do pivô (extremidade esquerda). Para a tábua:
I_{\rm tábua} = I_{CM} + m\bigl(\tfrac{L}{2}\bigr)^2 = \frac{mL^2}{12} + m\frac{L^2}{4} = \frac{mL^2}{3}.á
Para o gato tratado como ponto a L:
I_{\rm gato} = (2m)\,L^2 = 2m\,L^2.
Logo
I_{\rm total} = \frac{mL^2}{3} + 2mL^2 = \frac{7mL^2}{3}.

Passo 7

O torque resultante devido à gravidade é
\tau_{\rm total} = m\,g\,(L/2) + 2m\,g\,(L) = m\,g\,\Bigl(\tfrac{1}{2}L + 2L\Bigr) = \frac{5}{2}\,m\,g\,L.

Passo 8

Substituindo em \alpha = \tau_{\rm total}/I_{\rm total}, vem
\alpha = \frac{\tfrac{5}{2}\,m\,g\,L}{\tfrac{7mL^2}{3}} = \frac{5}{2}\,\frac{g}{L}\,\frac{3}{7} = \frac{15}{14}\,\frac{g}{L}.

Resposta

T_1 = m\,g,\quad T_2 = 2m\,g.
\displaystyle \alpha = \frac{15}{14}\,\frac{g}{L}.

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