Uma partícula de massa
é prosa a uma mola de constante elástica
. No instante inicial, a partícula é solta na origem, com uma velocidade de
. Marque a opção que determina a posição da partícula (em metros), que descreve um movimento harmōnico simples, em função do tempo (em segundos).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pergunta qual expressão descreve a posição da partícula em movimento harmônico simples em função do tempo. Dados fornecidos:
a partícula é solta na origem, portanto
e tem velocidade inicial
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(e), a expressão correta
.
Passo 2
Primeiro vamos determinar a frequência angular do movimento harmônico simples. Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a frequência angular
é dada por
Aqui isso vale
Explicando:
diz quantos radianos por segundo o oscilador percorre; vem da solução da equação diferencial
.
Passo 3
A forma geral da solução para a posição é
onde
é a amplitude (número positivo que mede o máximo deslocamento) e
é a fase inicial (ângulo em radianos que desloca a cossenoide). A velocidade é a derivada temporal:
Agora aplicamos as condições iniciais em
.
Passo 4
Da condição
obtemos
As soluções para
são
Passo 5
Usamos
. Pela fórmula da velocidade,
Substituindo
:
-
Se
, então e Isso dá amplitude negativa. Podemos sempre trocar o sinal da amplitude absorvendo uma mudança de fase de, mas prefiro achar . -
Se
, então e Aqui temos, que é a escolha natural de amplitude.
Explicando a escolha: amplitude é convencionalmente tomada positiva; a fase ajusta o sinal no início. Portanto os valores que satisfazem as condições iniciais são
Passo 6
Podemos verificar rapidamente: com
,
e
confere com as condições iniciais.
Resposta
(d)