Uma partícula de massa m=10 \mathrm{~kg} é prosa a uma mola de constante elástica k=4000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. No instante inicial, a partícula é solta na origem, com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Marque a opção que determina a posição da partícula (em metros), que descreve um movimento harmōnico simples, em função do tempo (em segundos).
(a) x(t)=\frac{1}{4} \cos \left(10 t+\frac{\pi}{2}\right)
(b) x(t)=\frac{1}{4} \cos \left(10 t+\frac{3 \pi}{2}\right)
(c) x(t)=2 \cos \left(20 t+\frac{3 \pi}{2}\right)
(d) x(t)=\frac{1}{2} \cos \left(20 t+\frac{3 \pi}{2}\right)
(e) x(t)=\frac{1}{2} \cos \left(20 t+\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pergunta qual expressão descreve a posição da partícula em movimento harmônico simples em função do tempo. Dados fornecidos:
m=10\\ \mathrm{kg},
k=4000\\ \mathrm{N/m},
a partícula é solta na origem, portanto
x(0)=0,
e tem velocidade inicial
v(0)=10\\ \mathrm{m/s}.
A tarefa é escolher, entre as alternativas (a)–(e), a expressão correta x(t).

Passo 2

Primeiro vamos determinar a frequência angular do movimento harmônico simples. Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a frequência angular \omega é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui isso vale
\omega=\sqrt{\frac{4000}{10}}=\sqrt{400}=20\\ \text{rad/s}.
Explicando: \omega diz quantos radianos por segundo o oscilador percorre; vem da solução da equação diferencial m\ddot{x} + kx = 0.

Passo 3

A forma geral da solução para a posição é
x(t)=A\cos\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde A é a amplitude (número positivo que mede o máximo deslocamento) e \varphi é a fase inicial (ângulo em radianos que desloca a cossenoide). A velocidade é a derivada temporal:
v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Agora aplicamos as condições iniciais em t=0.

Passo 4

Da condição x(0)=0 obtemos
x(0)=A\cos\varphi=0 \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi=0.
As soluções para \cos\varphi=0 são
\varphi=\frac{\pi}{2}\quad\text{ou}\quad \varphi=\frac{3\pi}{2}\quad(\text{mod }2\pi).

Passo 5

Usamos v(0)=10. Pela fórmula da velocidade,
v(0)=-A\omega\sin\varphi=10.
Substituindo \omega=20:
  • Se \varphi=\frac{\pi}{2}, então \sin\varphi=1 e
    -A\cdot 20\cdot 1 = 10 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{10}{20} = -\tfrac{1}{2}.
    Isso dá amplitude negativa. Podemos sempre trocar o sinal da amplitude absorvendo uma mudança de fase de \pi, mas prefiro achar A>0.
  • Se \varphi=\frac{3\pi}{2}, então \sin\varphi=-1 e
    -A\cdot 20\cdot (-1) = 10 \quad\Rightarrow\quad A\cdot 20 = 10 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{10}{20}=\tfrac{1}{2}.
    Aqui temos A=\tfrac{1}{2}>0, que é a escolha natural de amplitude.
Explicando a escolha: amplitude é convencionalmente tomada positiva; a fase ajusta o sinal no início. Portanto os valores que satisfazem as condições iniciais são
A=\tfrac{1}{2},\qquad \varphi=\frac{3\pi}{2},\qquad \omega=20.

Passo 6

Podemos verificar rapidamente: com x(t)=\tfrac{1}{2}\cos(20t+\tfrac{3\pi}{2}),
x(0)=\tfrac{1}{2}\cos\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 0=0,
e
v(t)=-\tfrac{1}{2}\cdot 20\sin(20t+\tfrac{3\pi}{2}) \implies v(0)=-10\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=-10\cdot(-1)=10,
confere com as condições iniciais.

Resposta

(d) \,x(t)=\frac{1}{2}\cos\!\bigl(20t+\frac{3\pi}{2}\bigr)

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