Uma onda harmònica com comprimento de onda de 2 m se propaga numa corda com densidade linear de massa igual a 50 \mathrm{~g} / \mathrm{m}. Sabendo que o intervalo de tempo que um ponto na corda leva para voltar do deslocamento máximo para zero é de 0,1 \mathrm{~s}, qual é o valor da tensão na corda?
(a) 25 N
(b) 5 N
(c) 50 N
(d) 0,3125 \mathrm{~N}
(e) 1,25 \mathrm{~N}
(f) 6,25 \mathrm{~N}

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
\lambda = 2\\ \mathrm{m} (comprimento de onda).
\mu = 50\\ \mathrm{g/m} (densidade linear de massa).
O intervalo de tempo que um ponto da corda leva para ir do deslocamento máximo até zero é 0,1\\ \mathrm{s}.
Pergunta: determinar a tensão na corda (entre as alternativas (a)–(f)).

Passo 2

Entendendo o movimento de um ponto da corda: cada ponto oscila em movimento harmônico simples. Se num instante o ponto está no deslocamento máximo, a função temporal do deslocamento pode ser vista como y(t)=A\cos(\omega t+\varphi). No máximo temos \cos(\omega t+\varphi)=1 e no instante em que o deslocamento vale zero temos \cos(\omega t+\varphi)=0. A diferença de fase entre esses instantes é \pi/2 (ou seja, um quarto de ciclo). Portanto o tempo do máximo até zero é um quarto do período da oscilação:
\text{tempo (máx→0)}=\frac{T}{4}.á

Passo 3

Usando a relação do passo anterior e o dado do enunciado:
\frac{T}{4}=0,1\\ \mathrm{s}\quad\Rightarrow\quad T=4\cdot 0,1=0,4\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcule a frequência \,f a partir do período:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0,4}=2,5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Velocidade de propagação da onda: para uma onda linear temos
v=\lambda f,
onde \lambda é o comprimento de onda e f a frequência. Substituindo:
v=2\\ \mathrm{m}\times 2,5\\ \mathrm{Hz}=5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Relação entre velocidade de onda, tensão e densidade linear de massa: para uma corda
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a densidade linear de massa (em kg/m). Dessa relação isolamos T:
T=\mu v^{2}.

Passo 7

Converter a densidade linear de massa para unidades SI:
\mu=50\\ \mathrm{g/m}=0,05\\ \mathrm{kg/m}.
Agora calcular T:
T=\mu v^{2}=0,05\cdot (5)^{2}=0,05\cdot 25=1,25\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Comparando com as alternativas dadas, 1,25\\ \mathrm{N} corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) 1,25\\ \mathrm{N}

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