Uma partícula de massa 3kg oscila presa a uma mola de constante elástica 200 N / m. No instante t=0, a partícula é solta da posição x=0,1 m com velocidade inicial de 2,0 m / s.
Qual é a função da posição x(t) no formato x(t)=A cos (omega t+phi)? Além disso, qual é a energia mecânica total do sistema?
x(t)=0,245 cos (8,16 t-0,39) ; E=2,0 J ;

Passo 1

O exercício é de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma partícula de massa m = 3 kg presa a uma mola de constante k = 200 N/m. No instante t = 0 ela parte de x₀ = 0,10 m com velocidade inicial v₀ = 2,0 m/s.
O que precisamos:
  1. A frequência angular ω = √(k/m).
  2. A solução geral x(t) = A cos(ωt + φ), e achar A e φ usando x(0)=x₀ e v(0)=v₀.
  3. A energia mecânica total E = ½ k A² (ou ½ k x₀² + ½ m v₀²).

Passo 2

Calculando ω:
omega = raizkm ;=;raiz2003;approx 8,165 rad/s

Passo 3

Escrevemos a solução geral e sua derivada:
x(t)=Acos(omega t+phi), v(t)=dxdt=-A,omega,sin(omega t+phi)
No instante t=0:
x(0)=Acosphi = x0 = 0,10, v(0)=-A,omega,sinphi = v0 = 2,0

Passo 4

Para achar A e φ, usamos:
  1. cosphi = 0,10A, sinphi = -2,0A,omega
  2. l(tfrac0,10Ar)^2 + l(tfrac2,0A,omegar)^2 = 1 ;Longrightarrow; A^2 = (0,10)^2 + l(tfrac2,08,165r)^2 approx 0,01 + 0,06 = 0,07 ;Rightarrow; A approx raiz0,07 = 0,265 m
    Isolamos cosphi = 0,100,265approx 0,378, sinphi = -2,00,265cdot8,165approx -0,926 e :
Como , vem
Agora φ:
A partir disso, φ ≈ –1,18 rad (num quadrante onde o cosseno é + e seno é –).

Passo 5

A energia mecânica total é
E = tfrac12,k,A^2 = tfrac12cdot200cdot(0,265)^2 approx 100cdot0,07 = 7,0 J
(Verificação: J.)

Resposta

x(t) = e

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