Uma partícula de massa 3kg oscila presa a uma mola de constante elástica
. No instante
, a partícula é solta da posição
com velocidade inicial de
.
Qual é a função da posição
no formato
? Além disso, qual é a energia mecânica total do sistema?
Qual é a função da posição
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa m=3 kg está ligada a uma mola de constante k=200 N/m e, em t=0, parte de x₀=0,1 m com v₀=2,0 m/s.
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e energia mecânica.
O que vamos usar:
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e energia mecânica.
O que vamos usar:
- A equação do MHS: x¨+ (k/m)x = 0
- Fórmulas de amplitude e fase para x(t)=A cos(ωt+φ)
- Conservação da energia em mola: E = ½kA² (ou ½k x₀²+½m v₀²)
Passo 2
Primeiro, calculamos a frequência angular ω do MHS:
Isso vem da forma geral x¨+ω²x=0.
Passo 3
Agora achamos a amplitude A usando as condições iniciais. Em MHS vale
Substituindo:
Passo 4
Para achar a fase φ, usamos
x(0)=A cosφ = x₀
e
v(0)=–A ω sinφ = v₀.
Daí
x(0)=A cosφ = x₀
e
v(0)=–A ω sinφ = v₀.
Daí
Passo 5
A energia mecânica total é constante e pode ser calculada por
(Alternativamente E = ½k x₀² + ½m v₀² = 1 + 6 = 7 J.)
Resposta
x(t) = 0,265 cos(8,16 t − 1,19) m
E = 7,0 J
E = 7,0 J