Uma partícula de massa 3kg oscila presa a uma mola de constante elástica 200 N / m. No instante t=0, a partícula é solta da posição x=0,1 m com velocidade inicial de 2,0 m / s.
Qual é a função da posição x(t) no formato x(t)=A cos (omega t+phi)? Além disso, qual é a energia mecânica total do sistema?
x(t)=0,245 cos (8,16 t+0,39) ; E=3,0 J ;

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa m=3 kg está ligada a uma mola de constante k=200 N/m e, em t=0, parte de x₀=0,1 m com v₀=2,0 m/s.
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e energia mecânica.
O que vamos usar:
  • A equação do MHS: x¨+ (k/m)x = 0
  • Fórmulas de amplitude e fase para x(t)=A cos(ωt+φ)
  • Conservação da energia em mola: E = ½kA² (ou ½k x₀²+½m v₀²)

Passo 2

Primeiro, calculamos a frequência angular ω do MHS:
ω = raizkm = raiz2003approx 8,16;rad/s
Isso vem da forma geral x¨+ω²x=0.

Passo 3

Agora achamos a amplitude A usando as condições iniciais. Em MHS vale
A = raizx0^2 + l(tfracv0ωr)^2
Substituindo:
A = raiz(0,1)^2 + l(2,08,16r)^2 = raiz0,01 + 0,0601 ≈0,265;m

Passo 4

Para achar a fase φ, usamos
x(0)=A cosφ = x₀
e
v(0)=–A ω sinφ = v₀.
Daí
tan φ = -v0ω,x0 = -2,08,16cdot0,1 ≈ -2,45
φ = arctan(-2,45) ≈ -1,19;rad

Passo 5

A energia mecânica total é constante e pode ser calculada por
E = 12,k,A^2 = tfrac12cdot200cdot(0,265)^2 ≈7,0;J
(Alternativamente E = ½k x₀² + ½m v₀² = 1 + 6 = 7 J.)

Resposta

x(t) = 0,265 cos(8,16 t − 1,19) m
E = 7,0 J

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