Uma partícula de massa 3 kg oscila
presa a uma mola de constante elástica 200 N / m. No instante t=0, a partícula é solta da posição x=0,1 m com velocidade inicial de 2,0 m / s.
Qual é a função da posição x(t) no formato x(t)=A cos (omega t+phi)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa 3 kg presa numa mola com constante elástica de 200 N/m. No tempo inicial (t = 0), ela é solta da posição x = 0,1 m com uma velocidade inicial de 2,0 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a função que descreve a posição dessa partícula ao longo do tempo, no formato:
x(t) = A cos (omega t + phi)
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve entender a oscilação da partícula e como a massa e a constante da mola influenciam nessa oscilação.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a frequência angular ($ \omega $) da partícula. A frequência angular é dada pela fórmula:
omega
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica da mola (200 N/m)
  • $ m $ é a massa da partícula (3 kg)
Vamos calcular isso:
omega = raizkm

Passo 3

Agora que temos $ \omega $, podemos escrever a equação geral do Movimento Harmônico Simples para a posição $ x(t) $:
omega
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilaçao e $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 4

Para encontrar $ A $ e $ \phi $, vamos usar as condições iniciais fornecidas:
  1. No tempo $ t = 0 $, a posição é $ x(0) = 0,1 , m $.
  2. A velocidade inicial é $ v(0) = 2,0 , m/s $.
Primeiro, vamos aplicar a condição $ x(0) = 0,1 , m $ na equação de $ x(t) $:
A
Então:
phi çã

Passo 5

Agora, vamos derivar $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $:
x(t)
Aplicando a condição $ v(0) = 2,0 , m/s $:
v(t)
Então:
v(t) = dxdt = -A omega sin (omega t + phi) çã
Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ A \cos (\phi) = 0,1 $
  2. $ -A \omega \sin (\phi) = 2,0 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ \phi $.

Passo 6

Vamos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar $ A $:
A
Simplificando:
-A omega sin (phi)A cos (phi) = 2,00,1
Então:
-omega tan (phi) = 20
Substituindo $ \omega \approx 8,16 , rad/s $:
tan (phi) = -20omega
Agora, vamos encontrar $ \phi $:
omega approx 8,16 , rad/s
Como queremos $ \phi $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $, podemos adicionar $ 2\pi $:
tan (phi) = -208,16 approx -2,45
Agora, voltando à Equação 1 para encontrar $ A $:
phi
Sabendo que $ \cos (5,09) \approx 0,34 $:
phi = arctan (-2,45) approx -1,19 , rad

Resposta

A função da posição é:
x(t) = 0,29 cos (8,16 , t + 5,09)

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