Uma partícula de massa 3 kg oscila
presa a uma mola de constante elástica
. No instante
, a partícula é solta da posição
com velocidade inicial de
.
Qual é a função da posição
no formato
?
presa a uma mola de constante elástica
Qual é a função da posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula de massa 3 kg presa numa mola com constante elástica de 200 N/m. No tempo inicial (t = 0), ela é solta da posição x = 0,1 m com uma velocidade inicial de 2,0 m/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a função que descreve a posição dessa partícula ao longo do tempo, no formato:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS), que envolve entender a oscilação da partícula e como a massa e a constante da mola influenciam nessa oscilação.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a frequência angular ($ \omega $) da partícula. A frequência angular é dada pela fórmula:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola (200 N/m)
- $ m $ é a massa da partícula (3 kg)
Vamos calcular isso:
Passo 3
Agora que temos $ \omega $, podemos escrever a equação geral do Movimento Harmônico Simples para a posição $ x(t) $:
Aqui, $ A $ é a amplitude da oscilaçao e $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 4
Para encontrar $ A $ e $ \phi $, vamos usar as condições iniciais fornecidas:
- No tempo $ t = 0 $, a posição é $ x(0) = 0,1 , m $.
- A velocidade inicial é $ v(0) = 2,0 , m/s $.
Primeiro, vamos aplicar a condição $ x(0) = 0,1 , m $ na equação de $ x(t) $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar $ x(t) $ para encontrar a velocidade $ v(t) $:
Aplicando a condição $ v(0) = 2,0 , m/s $:
Então:
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ A \cos (\phi) = 0,1 $
- $ -A \omega \sin (\phi) = 2,0 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ A $ e $ \phi $.
Passo 6
Vamos dividir a Equação 2 pela Equação 1 para eliminar $ A $:
Simplificando:
Então:
Substituindo $ \omega \approx 8,16 , rad/s $:
Agora, vamos encontrar $ \phi $:
Como queremos $ \phi $ no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $, podemos adicionar $ 2\pi $:
Agora, voltando à Equação 1 para encontrar $ A $:
Sabendo que $ \cos (5,09) \approx 0,34 $:
Resposta
A função da posição é: