Uma partícula de massa 3kg oscila presa a uma mola de constante elástica 200 N / m. No instante t=0, a partícula é solta da posição x=0,1 m com velocidade inicial de 2,0 m / s.
Qual é a função da posição x(t) no formato x(t)=A cos (omega t+phi)? Além disso, qual é a energia mecânica total do sistema?
x(t)=0,245 cos (8,16 t+0,44) ; E=2,0 J ;

Passo 1

Beleza, aqui o que rola: temos uma massa m = 3 kg ligada numa mola com constante k = 200 N/m. No instante t=0 ela tá em x₀=0,1 m e com velocidade v₀=2,0 m/s. Isso é um caso de Movimento Harmônico Simples (MHS). Pra resolver a gente vai precisar de:
  • a frequência angular ω = √(k/m);
  • a solução geral x(t) = A cos(ωt+φ);
  • usar as condições iniciais x(0)=x₀ e v(0)=v₀ pra achar A e φ;
  • e depois calcular a energia total E = ½ k A².

Passo 2

Primeiro calcula a frequência angular:
omega = raizkm = raiz2003approx 8,165;rad/s
A forma geral da posição é
x(t) = Acosl(omega t + phir)

Passo 3

Agora impomos as condições iniciais em t=0:
  1. x(0)=x₀ dá
Acosphi = x0 = 0,1
  1. v(t)=dx/dt = −Aω sin(ωt+φ), então v(0)=v₀ dá
-,A,omega,sinphi = v0 = 2,0
Essas duas equações são nossa chave pra achar A e φ.

Passo 4

Daquelas equações a gente sabe que
A = raizx0^2 + l(tfracv0omegar)^2
e
phi = arctan!l(!-v0omega,x0r)
Substituindo:
A = raiz(0,1)^2 + l(tfrac2,08,165r)^2 approx 0,2646;m,
phi = arctan!l(-2,08,165cdot0,1r) approx -1,19;rad

Passo 5

Energia mecânica total no MHS é
E = tfrac12,k,A^2 = tfrac12cdot200cdot(0,2646)^2 approx 7,0;J

Resposta

x(t)=0,2646cosl(8,165,t - 1,19r)e E=7,0;J

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