Considere um solenoide de
de raio e com 500 voltas em
de comprimento, conduzindo uma corrente de
.
Considere agora que
seja a intensidade máxima
da corrente alternada condurida pelo solenoide, dada por
. Determine a frequência
desta corrente alternada para que a intensidade máxima da fem induzida no solenoide seja de
. [1.0pt]
Considere agora que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um solenoide com certas dimensões e uma corrente alternada passando por ele. A gente vai precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday, para encontrar a frequência da corrente que faz com que a força eletromotriz (fem) induzida no solenoide seja de 1,5 V.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um solenoide. Um solenoide é basicamente uma bobina longa com várias voltas de fio, que cria um campo magnético quando uma corrente passa por ele. A intensidade do campo magnético dentro do solenoide é dada por:
Onde:
- $ B(t) $ é o campo magnético no tempo $ t $.
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
- $ n $ é o número de voltas do solenoide.
- $ L $ é o comprimento do solenoide.
- $ I(t) $ é a corrente que passa pelo solenoide.
Passo 3
Sabemos que a corrente alternada é dada por $ I(t) = I_0 \cos(\omega t) $, onde:
- $ I_0 $ é a amplitude da corrente (5,0 mA ou $ 5,0 \times 10^{-3} $ A).
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ t $ é o tempo.
Passo 4
O fluxo magnético $ \Phi $ através de uma única volta do solenoide é:
Onde $ A $ é a área da seção transversal do solenoide. Como são $ n $ voltas, o fluxo total é multiplicado por $ n $:
Passo 5
A fem induzida no solenoide, segundo a Lei de Faraday, é a variação do fluxo magnético no tempo:
Vamos derivar $ \Phi_{total}(t) $ em relação ao tempo.
Passo 6
Substituindo $ B(t) $ e $ I(t) $ na expressão do fluxo:
Derivando em relação ao tempo:
Como $ I(t) = I_0 \cos(\omega t) $, a derivada de $ I(t) $ é:
Então,
Passo 7
A fem máxima ($ \varepsilon_{max} $) ocorre quando $ \sin(\omega t) = 1 $. Portanto:
Queremos que $ \varepsilon_{max} = 1,5 , V $. Vamos isolar $ \omega $:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada termo:
- Área $ A $ do solenoide:
- Substituindo os valores na equação para $ \omega $:
Passo 9
Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
Realizando os cálculos:
Agora, o numerador:
Então,
Passo 10
Agora, para encontrar a frequência $ f $, usamos a relação $ f = \frac{\omega}{2\pi} $:
Resposta
A frequência da corrente alternada deve ser aproximadamente $ 1,08 \times 10^{5} , Hz $.