Considere um solenoide de 3,0 mm de raio e com 500 voltas em 2,0 cm de comprimento, conduzindo uma corrente de 5,0 mA.
Considere agora que 5,0 mA seja a intensidade máxima I0 da corrente alternada condurida pelo solenoide, dada por I(t)=I0 cos (omega t). Determine a frequência f=omega2 pi desta corrente alternada para que a intensidade máxima da fem induzida no solenoide seja de 1,5 V. [1.0pt]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um solenoide com certas dimensões e uma corrente alternada passando por ele. A gente vai precisar usar conceitos de indução eletromagnética, especificamente a Lei de Faraday, para encontrar a frequência da corrente que faz com que a força eletromotriz (fem) induzida no solenoide seja de 1,5 V.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um solenoide. Um solenoide é basicamente uma bobina longa com várias voltas de fio, que cria um campo magnético quando uma corrente passa por ele. A intensidade do campo magnético dentro do solenoide é dada por:
B(t) = mu0 nL I(t)
Onde:
  • $ B(t) $ é o campo magnético no tempo $ t $.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $).
  • $ n $ é o número de voltas do solenoide.
  • $ L $ é o comprimento do solenoide.
  • $ I(t) $ é a corrente que passa pelo solenoide.

Passo 3

Sabemos que a corrente alternada é dada por $ I(t) = I_0 \cos(\omega t) $, onde:
  • $ I_0 $ é a amplitude da corrente (5,0 mA ou $ 5,0 \times 10^{-3} $ A).
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ t $ é o tempo.

Passo 4

O fluxo magnético $ \Phi $ através de uma única volta do solenoide é:
Phi
Onde $ A $ é a área da seção transversal do solenoide. Como são $ n $ voltas, o fluxo total é multiplicado por $ n $:
Phi(t) = B(t) times A

Passo 5

A fem induzida no solenoide, segundo a Lei de Faraday, é a variação do fluxo magnético no tempo:
varepsilon(t) = -dPhitotal(t)dt
Vamos derivar $ \Phi_{total}(t) $ em relação ao tempo.

Passo 6

Substituindo $ B(t) $ e $ I(t) $ na expressão do fluxo:
B(t)
Derivando em relação ao tempo:
I(t)
Como $ I(t) = I_0 \cos(\omega t) $, a derivada de $ I(t) $ é:
Phitotal(t) = n times mu0 nL I(t) times A = mu0 n^2L A I(t)
Então,
dPhitotal(t)dt = mu0 n^2L A dI(t)dt

Passo 7

A fem máxima ($ \varepsilon_{max} $) ocorre quando $ \sin(\omega t) = 1 $. Portanto:
varepsilonmax
Queremos que $ \varepsilon_{max} = 1,5 , V $. Vamos isolar $ \omega $:
sin(omega t) = 1

Passo 8

Agora, vamos calcular cada termo:
  • Área $ A $ do solenoide:
A
  • Substituindo os valores na equação para $ \omega $:
A = pi r^2 = pi (3,0 times 10^-3 , m)^2 = pi times 9,0 times 10^-6 , m^2 approx 2,827 times 10^-5 , m^2

Passo 9

Calculando passo a passo:
Primeiro, calcule o denominador:
4pi times 10^-7 times 250000 times 2,827 times 10^-5 times 5,0 times 10^-3 approx 4pi times 10^-7 times 250000 times 2,827 times 10^-5 times 5,0 times 10^-3
approx 4pi times 10^-7 times 250000 times 2,827 times 10^-5 times 5,0 times 10^-3 approx 4pi times 10^-7 times 250000 times 2,827 times 10^-5 times 5,0 times 10^-3
Realizando os cálculos:
4pi times 10^-7 approx 1,2566 times 10^-6
1,2566 times 10^-6 times 250000 = 0,31415
0,31415 times 2,827 times 10^-5 approx 8,878 times 10^-6
8,878 times 10^-6 times 5,0 times 10^-3 = 4,439 times 10^-8
Agora, o numerador:
1,5 times 0,02 = 0,03
Então,
omega = 0,034,439 times 10^-8 approx 6,764 times 10^5 , rad/s

Passo 10

Agora, para encontrar a frequência $ f $, usamos a relação $ f = \frac{\omega}{2\pi} $:
f

Resposta

A frequência da corrente alternada deve ser aproximadamente $ 1,08 \times 10^{5} , Hz $.

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