Uma partícula com massa constante
se move em movimento retilíneo no eixo
. Sua velocidade em função da posição é dada por
. (a) Obtenha a expressão para a aceleração
e (b) para a força
.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa constante
que se move ao longo do eixo
. A velocidade é um vetor unidimensional paralelo à direção
:
com
Pede-se:
(a) a expressão da aceleração em função de
;
(b) a expressão da força em função de
.
(a) a expressão da aceleração
(b) a expressão da força
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar: aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação,
Como o movimento é unidimensional ao longo de
, podemos trabalhar com as componentes escalares e depois multiplicar por
. Se a velocidade é dada como função da posição
, usamos a regra da cadeia para derivadas: a derivada temporal de
é
Aqui
é precisamente a velocidade
. Portanto obtemos a relação importante (muito usada em provas):
Explicando em palavras: quando
depende de
, a taxa de variação de
no tempo vem da taxa de variação de
em relação a
multiplicada pela velocidade com que eu percorro
.
Passo 3
Calculemos a derivada
para a função dada
. Como
e
são constantes,
Isto é simples: a derivada de uma constante é zero e a derivada de
é
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia encontrada no Passo 2:
Substituindo
e
, obtemos
Como a aceleração é o vetor desta derivada na direção
,
Podemos também expandir:
Interpretação rápida: a aceleração depende linearmente de
; se
recuperamos aceleração nula (velocidade constante).
Passo 5
Verificação de unidades (importante em provas):
tem unidades
,
tem
, pelo termo
segue que
tem unidades
. Então
tem unidades
e
também tem
, consistente com aceleração.
Passo 6
Força resultante pela segunda lei de Newton:
. Multiplicando a aceleração obtida por
,
Expandindo se preferir:
Também aqui, se
a força é zero (movimento retilíneo e uniforme).
Passo 7
Dica prática para a prova (resumo rápido que você pode decorar): quando
é função de
, calcule
, use
para achar
, e então
. Isso evita ter que integrar ou resolver equações diferenciais desnecessárias.