Uma partícula com massa constante m se move em movimento retilíneo no eixo x. Sua velocidade em função da posição é dada por \vec{v}(x)=v(x) \hat{\imath}, \operatorname{com} v(x)=v_{0}+b x. (a) Obtenha a expressão para a aceleração \vec{a}(x) e (b) para a força \vec{F}(x).

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa constante m que se move ao longo do eixo x. A velocidade é um vetor unidimensional paralelo à direção x:
\vec{v}(x)=v(x)\,\hat{\imath},
com
v(x)=v_{0}+b x.
Pede-se:
(a) a expressão da aceleração \vec{a}(x) em função de x;
(b) a expressão da força \vec{F}(x) em função de x.
Informações relevantes dadas:
\text{massa: } m \quad,\quad v(x)=v_{0}+b x \quad,\quad \text{movimento ao longo de } x.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: aceleração é a derivada temporal da velocidade. Em notação,
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Como o movimento é unidimensional ao longo de x, podemos trabalhar com as componentes escalares e depois multiplicar por \hat{\imath}. Se a velocidade é dada como função da posição x, usamos a regra da cadeia para derivadas: a derivada temporal de v(x) é
\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
Aqui \frac{dx}{dt} é precisamente a velocidade v. Portanto obtemos a relação importante (muito usada em provas):
\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Explicando em palavras: quando v depende de x, a taxa de variação de v no tempo vem da taxa de variação de v em relação a x multiplicada pela velocidade com que eu percorro x.

Passo 3

Calculemos a derivada \frac{dv}{dx} para a função dada v(x)=v_{0}+b x. Como v_{0} e b são constantes,
\frac{dv}{dx}=b.
Isto é simples: a derivada de uma constante é zero e a derivada de b x é b.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da regra da cadeia encontrada no Passo 2:
\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx}.
Substituindo \frac{dv}{dx}=b e v=v(x)=v_{0}+b x, obtemos
\frac{dv}{dt}= (v_{0}+b x)\,b.
Como a aceleração é o vetor desta derivada na direção \hat{\imath},
\vec{a}(x)=b\bigl(v_{0}+b x\bigr)\,\hat{\imath}.
Podemos também expandir:
\vec{a}(x)=\bigl(b v_{0} + b^{2} x\bigr)\,\hat{\imath}.
Interpretação rápida: a aceleração depende linearmente de x; se b=0 recuperamos aceleração nula (velocidade constante).

Passo 5

Verificação de unidades (importante em provas): v_{0} tem unidades \mathrm{m/s}, x tem \mathrm{m}, pelo termo v_{0}+b x segue que b tem unidades \mathrm{s^{-1}}. Então b v_{0} tem unidades \mathrm{m/s^{2}} e b^{2}x também tem \mathrm{m/s^{2}}, consistente com aceleração.

Passo 6

Força resultante pela segunda lei de Newton: \vec{F}=m\vec{a}. Multiplicando a aceleração obtida por m,
\vec{F}(x)=m\,b\bigl(v_{0}+b x\bigr)\,\hat{\imath}.
Expandindo se preferir:
\vec{F}(x)=\bigl(m b v_{0} + m b^{2} x\bigr)\,\hat{\imath}.
Também aqui, se b=0 a força é zero (movimento retilíneo e uniforme).

Passo 7

Dica prática para a prova (resumo rápido que você pode decorar): quando v é função de x, calcule \frac{dv}{dx}, use \frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dx} para achar a, e então \vec{F}=m\vec{a}. Isso evita ter que integrar ou resolver equações diferenciais desnecessárias.

Resposta

\displaystyle \vec{a}(x)=b\bigl(v_{0}+b x\bigr)\,\hat{\imath}=\bigl(b v_{0}+b^{2}x\bigr)\,\hat{\imath}
\displaystyle \vec{F}(x)=m\,b\bigl(v_{0}+b x\bigr)\,\hat{\imath}=\bigl(m b v_{0}+m b^{2}x\bigr)\,\hat{\imath}

Exercícios relacionados