Uma partícula de massa
, que se desloca na direção
, encontra-se confinada em um poço de potencial infinito, entre
e
. De modo que a função de onda para qualquer autoestado estacionário de energia da partícula é dada por
com autovalores de energia
© A distribuição de probabilidades para os momenta;
com autovalores de energia
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos apresenta e o que vamos precisar para resolvê-la. Temos uma partícula de massa $ m $ confinada em um poço de potencial infinito entre $ x = 0 $ e $ x = L $. A função de onda para os estados estacionários de energia é dada por:
E os autovalores de energia são:
Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a transformação de Fourier, para encontrar a distribuição de probabilidades para os momentos da partícula.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distribuição de probabilidades para os momentos é obtida através da transformada de Fourier da função de onda
. A transformada de Fourier nos permite mudar a descrição da partícula da representação no espaço (
) para a representação no espaço dos momentos (
).
A função de onda no espaço dos momentos,
, é dada por:
Passo 3
Como a função de onda
é zero fora do intervalo
, a integral se simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar os termos constantes:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais:
Substituindo $ a = \frac{n \pi}{L} $:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A integral de $ e^{i k x} $ é:
Aplicando isso às integrais:
Passo 7
Simplificando cada termo:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 8
Simplificando os sinais:
Passo 9
Agora, substituímos $ I $ de volta na expressão para $ \phi§ $:
Passo 10
Para encontrar a distribuição de probabilidades para os momenta, precisamos calcular $ |\phi§|^2 $:
Isso envolve calcular o módulo quadrado da expressão obtida para $ \phi§ $. Devido à complexidade matemática, o resultado final geralmente é expresso em termos de funções sinc ou outras funções especiais, dependendo da simplificação desejada.
Resposta
A distribuição de probabilidades para os momentos é dada por $ P§ = |\phi§|^2 $, onde $ \phi§ $ é a transformada de Fourier da função de onda $ \psi(x) $. Após calcular a integral, obtemos:
Essa expressão descreve a probabilidade de encontrar a partícula com um determinado momento $ p $.