Há ar dentro de um cilindro de 0,50 L a 1,0 atm e à temperatura de 300 K em equilíbrio térmico com o ambiente. Em um ciclo, no primeiro passo, o gás é comprimido rapidamente para um volume de 30 % do original. No segundo passo, ele troca calor com o ambiente a volume constante até entrar em equilíbrio térmico com o ambiente a 300 K. No terceiro passo o gás é expandido rapidamente para o volume original e no quarto passo entra em equilíbrio térmico com o ambiente novamente.
(a) Desenhe o diagrama p V desse processo.
(b) Calcule o trabalho e o calor em cada passo do ciclo.
© Quais passos do processo são reversíveis?
(d) Qual é a variação de entropia do gás no ciclo?
(e) Qual é a variação da entropia do ambiente no ciclo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um cilindro com 0,50 litros de ar a 1,0 atm e 300 K, equilibrado termicamente com o ambiente. O processo envolve quatro etapas: compressão rápida, troca de calor a volume constante, expansão rápida e mais uma troca de calor. Vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como leis dos gases, trabalho realizado pelos gases e calor trocado, além de entender o que significa um processo reversível. Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Desenhar o diagrama $ pV $ desse processo.
Primeiro, vamos entender cada etapa do ciclo para poder desenhar o diagrama $ pV $.
  1. Compressão rápida: O volume diminui de 0,50 L para 30% de 0,50 L, ou seja, $ V_2 = 0,3 \times 0,50 = 0,15 $ L. Como é rápido, é um processo adiabático (sem troca de calor).
  2. Troca de calor a volume constante: O volume permanece em 0,15 L e a temperatura volta a 300 K.
  3. Expansão rápida: O volume volta a 0,50 L, novamente de forma rápida (adiabática).
  4. Troca de calor a volume constante: Volume permanece em 0,50 L e retorna a 300 K.
No diagrama $ pV $, teremos:
  • Uma linha que vai de 0,50 L para 0,15 L (compressão rápida).
  • Uma linha vertical de 0,15 L para 0,15 L, representando a troca de calor a volume constante.
  • Uma linha de 0,15 L para 0,50 L (expansão rápida).
  • Uma linha vertical de 0,50 L para 0,50 L, representando a troca de calor a volume constante.

Passo 3

Parte (b): Calcular o trabalho e o calor em cada passo do ciclo.
Vamos calcular trabalho ($ W W Q $) para cada etapa.
Etapa 1: Compressão rápida (adiabática)
Para um processo adiabático, $ Q = 0 $. O trabalho realizado na compressão é:
Q
Mas como a pressão não é constante, usamos a relação adiabática:
Q = 0
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Para ar, $ \gamma \approx 1,4 $.
Podemos usar a fórmula do trabalho para adiabática:
W = -P De
Primeiro, encontramos $ P_2 $:
PV^gamma = constante
gamma = CpCv
gamma approx 1,4
Calculando $ P_2 $:
W = P1 V1 - P2 V2gamma - 1
Agora, calculamos o trabalho:
P2
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
P2 = P1 ( V1V2 )^gamma
Convertendo para joules (1 atm·L ≈ 101,325 J):
P2 = 1,0 , atm times ( 0,500,15 )^1,4
Etapa 2: Troca de calor a volume constante
Aqui, $ W = 0 $ porque o volume não muda. Então, $ Q = \Delta U $.
Usamos:
P2
Primeiro, encontramos o número de mols ($ n $) usando a equação dos gases ideais:
P2 approx 1,0 times (3,333)^1,4 approx 1,0 times 5,38 approx 5,38 , atm
W = 1,0 times 0,50 - 5,38 times 0,151,4 - 1
Usando $ P = 5,38 , atm $, $ V = 0,15 , L $, $ T = 300 , K $, e $ R = 0,0821 , L·atm/mol·K $:
W = 0,50 - 0,8070,4
W = -0,3070,4 approx -0,7675 , atm·L
Agora, calculamos $ Q $:
Para ar, $ C_v \approx 5/2 R $:
W approx -0,7675 times 101,325 approx -77,7 , J
Na verdade, como a temperatura retorna a 300 K, não há variação de temperatura, então $ Q = 0 $.
Etapa 3: Expansão rápida (adiabática)
Similar à etapa 1, $ Q = 0 $.
Calculamos o trabalho:
Usando a mesma fórmula:
W = 0
Como o volume retorna a V1, $ V_3 = V_1 = 0,50 , L $, e $ P_3 = P_1 = 1,0 , atm $:
Q = De
Q = n Cv De
Convertendo para joules:
n
Etapa 4: Troca de calor a volume constante
Novamente, $ W = 0 $. Como a temperatura permanece em 300 K, $ Q = 0 $.

Passo 4

Parte ©: Quais passos do processo são reversíveis?
Um processo reversível é idealmente infinitamente lento, permitindo que o sistema esteja sempre em equilíbrio termodinâmico. No nosso ciclo:
  • Compressão rápida (Etapa 1): É um processo adiabático e rápido, não está em equilíbrio. Não é reversível.
  • Troca de calor a volume constante (Etapa 2): Se for feito de forma lenta e o sistema estiver em equilíbrio com o ambiente, pode ser considerado reversível.
  • Expansão rápida (Etapa 3): Similar à compressão, é rápida e adiabática, não é reversível.
  • Troca de calor a volume constante (Etapa 4): Novamente, se feita de forma lenta e em equilíbrio, pode ser reversível.
Então, apenas as etapas 2 e 4 são reversíveis.

Passo 5

Parte (d): Qual é a variação de entropia do gás no ciclo?
A entropia é uma função de estado, o que significa que, em um ciclo completo, a variação total de entropia do sistema (gás) é zero:
Deá

Passo 6

Parte (e): Qual é a variação da entropia do ambiente no ciclo?
Como o ciclo é reversível, a variação de entropia do ambiente também é zero. Em processos reversíveis, a entropia do sistema e do ambiente compensa-se, mantendo a entropia total constante.
De

Resposta

(a) O diagrama $ pV $ consiste em duas compressões e expansões rápidas adiabáticas e duas trocas de calor a volume constante, formando um laço.
(b) Trabalho e calor em cada etapa:
  • Etapa 1: $ W \approx -77,7 , J $, $ Q = 0 $
  • Etapa 2: $ W = 0 $, $ Q = 0 $
  • Etapa 3: $ W \approx 77,7 , J $, $ Q = 0 $
  • Etapa 4: $ W = 0 $, $ Q = 0 $
© As etapas 2 e 4 são reversíveis.
(d) A variação de entropia do gás no ciclo é zero.
(e) A variação de entropia do ambiente no ciclo é zero.

Exercícios relacionados