Uma partícula de massa se desloca ao longo da curva parametrizada por , 0 ), onde varia de a . A força aplicada na partícula é . Determine o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetória.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma partícula de massa 2 kg que se move segundo a curva
Sobre ela age a força
Precisamos calcular o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetória.
Conteúdo principal: integrais de linha de campos vetoriais (trabalho), produto escalar e parametrização de curvas. Vamos usar:
A fórmula do trabalho .
A parametrização e sua derivada .
O produto escalar entre e .
Passo 2
Teoria do trabalho (integral de linha):
Se você tem um campo de forças e uma curva parametrizada , o trabalho é
Aqui:
é só substituir , .
é a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.
A “” é o produto escalar: se e , então .
Passo 3
Vamos calcular peça por peça:
Derivada de :
Campo de força ao longo da curva:
Produto escalar :
Passo 4
Agora é só integrar de W=integral0^2l(4t^3+9t^5r),dt =l[;4cdott^44;+;9cdott^66r]0^2 =l[t^4+tfrac32t^6r]0^2 até t^4 = 2^4 =16, tfrac32,t^6 = tfrac32cdot2^6 = tfrac32cdot64 =96, :
W = 16 + 96 = 112
Substituindo :
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Resposta
O trabalho realizado pela força ao longo da trajetória é