Uma partícula de massa 2 k g se desloca ao longo da curva parametrizada por r(t)=(t^2, t^3, 0 ), onde t varia de 0 a 2s. A força aplicada na partícula é F(x, y)=(2x, 3y, 0) N. Determine o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetória.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos uma partícula de massa 2 kg que se move segundo a curva
r(t) = l(t^2,;t^3,;0r), tin[0,2]
Sobre ela age a força
F(x,y) = (2x,;3y,;0),N
Precisamos calcular o trabalho realizado por essa força ao longo da trajetória.
Conteúdo principal: integrais de linha de campos vetoriais (trabalho), produto escalar e parametrização de curvas. Vamos usar:
  1. A fórmula do trabalho .
  2. A parametrização e sua derivada .
  3. O produto escalar entre e .

Passo 2

Teoria do trabalho (integral de linha):
Se você tem um campo de forças W ;=;integralC Fcdot dr ;=;integralt=a^t=b Fl(r(t)r),cdot,r'(t),dt e uma curva parametrizada , o trabalho é
Aqui:
  • é só substituir , .
  • é a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade vetorial.
  • A “ ” é o produto escalar: se e , então .

Passo 3

Vamos calcular peça por peça:
  1. Derivada de r(t)=(t^2,t^3,0) Longrightarrow r'(t)=(2t,;3t^2,;0) :
Fl(r(t)r) =l(2x,,3y,,0r)|x=t^2,y=t^3 =(2,t^2,;3,t^3,;0)
  1. Campo de força ao longo da curva:
(2t^2,;3t^3,0);cdot;(2t,;3t^2,0) =2t^2cdot2t;+;3t^3cdot3t^2 =4t^3;+;9t^5
  1. Produto escalar :

Passo 4

Agora é só integrar de W=integral0^2l(4t^3+9t^5r),dt =l[;4cdott^44;+;9cdott^66r]0^2 =l[t^4+tfrac32t^6r]0^2 até t^4 = 2^4 =16, tfrac32,t^6 = tfrac32cdot2^6 = tfrac32cdot64 =96, :
W = 16 + 96 = 112
Substituindo :
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Resposta

O trabalho realizado pela força ao longo da trajetória é

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