Um pêndulo de
é puxado até uma altura de
acima do ponto mais baixo e solto. No ponto mais baixo, ele entra em uma superfície rugosa de
, onde o coeficiente de atrito é
. Determine se o pêndulo consegue subir até
do outro lado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo com massa de 2 kg que é puxado até uma altura de 0,75 metros acima do ponto mais baixo e depois solto. Quando ele passa pelo ponto mais baixo, encontra uma superfície rugosa de 0,5 metros de comprimento, onde o coeficiente de atrito é 0,3. A gente precisa descobrir se, mesmo com o atrito, o pêndulo consegue subir até a mesma altura de 0,75 metros do outro lado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e trabalho realizado pelo atrito. Precisaremos calcular a energia inicial do pêndulo, a energia perdida pelo atrito e ver se a energia restante é suficiente para que o pêndulo atinja novamente a altura de 0,75 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia potencial inicial do pêndulo quando ele está na altura máxima de 0,75 metros. A energia potencial gravitacional (Ep) é dada pela fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa (2 kg)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²)
- $ h $ é a altura (0,75 m)
Substituindo os valores:
Então, a energia potencial inicial é de 14,7 Joules.
Passo 3
Quando o pêndulo é solto e passa pelo ponto mais baixo, essa energia potencial é convertida em energia cinética (Ec). No ponto mais baixo, toda a energia potencial se transforma em energia cinética, então:
Agora, ao passar pela superfície rugosa de 0,5 metros, o pêndulo realiza trabalho contra o atrito, o que vai diminuir sua energia cinética.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho realizado pelo atrito (W_atrito). O trabalho realizado pelo atrito é dado por:
Onde:
- $ \mu $ é o coeficiente de atrito (0,3)
- $ N $ é a força normal. Como o pêndulo está se movendo na direção horizontal na superfície rugosa, a força normal é $ N = m \cdot g $
- $ d $ é a distância da superfície rugosa (0,5 m)
Calculando $ N $:
Agora, calculando $ W_{atrito} $:
Então, o trabalho realizado pelo atrito é de 2,94 Joules.
Passo 5
A energia cinética após passar pela superfície rugosa será a energia cinética inicial menos o trabalho realizado pelo atrito:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa energia cinética restante é suficiente para o pêndulo subir até a altura de 0,75 metros do outro lado. Para isso, calculamos a nova energia potencial que ele alcançaria com a energia cinética final:
Usando a fórmula da energia potencial para encontrar a nova altura ($ h’ $):
Resposta
Depois de passar pela superfície rugosa, o pêndulo consegue subir até aproximadamente 0,6 metros do outro lado, que é menos que a altura inicial de 0,75 metros. Portanto, ele não consegue alcançar a mesma altura devido à perda de energia causada pelo atrito.