Uma partícula de massa m está no estado dado por
Psi(x, t)=A e^-alpha[(m x^2 / hbar)+i t]
em que A e alpha são constantes positivas e reais. Determine:
a) Normalize Psi(x, t)
b) Encontre a função energia potencial V(x) para a qual Psi(x, t) é solução da equação de Schrodinger.
c) Calcule os valores lang<= xrang<=,lang<= x^2rang<=,lang<= prang<= e lang<= p^2rang<=.
d) Calcule as incertezas sigmax e sigmap. O produto destas quantidades é compatível com o principio de incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! O enunciado fala sobre uma partícula com massa $ m $ que está em um estado descrito pela função de onda $ \Psi(x, t) = A e^{-\alpha\left[\left(\frac{m x^{2}}{\hbar}\right) + i t\right]} $. Precisamos resolver várias partes:
a) Normalizar $ \Psi(x, t) $
b) Encontrar a função de energia potencial $ V(x) $ para a qual $ \Psi(x, t) $ é solução da equação de Schrödinger.
c) Calcular os valores esperados $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
d) Calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $ e verificar se o produto dessas incertezas é compatível com o princípio da incerteza.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de mecânica quântica como normalização de funções de onda, operadores observáveis, expectativas e o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): Normalizar $ \Psi(x, t) $.
Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso por:
Psi(x, t)
Primeiro, encontramos $ |\Psi(x, t)|^{2} $:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Onde $ \Psi^{*}(x, t) $ é o conjugado complexo de $ \Psi(x, t) $. Dada a função:
|Psi(x, t)|^2
O conjugado é:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t)
Multiplicando:
Psi^*(x, t)
Agora, integramos isso de $ -\infty $ a $ \infty $ e igualamos a 1:
Psi(x, t)
Essa é uma integral gaussiana, cuja solução é conhecida:
Psi(x, t) = A e^-alpha(m x^2hbar + i t)
Aqui, $ a = \frac{2\alpha m}{\hbar} $, então:
Psi^*(x, t) = A e^-alpha(m x^2hbar - i t)

Passo 3

Agora vamos para a parte b): Encontrar $ V(x) $ para a qual $ \Psi(x, t) $ é solução da equação de Schrödinger.
A equação de Schrödinger dependente do tempo é:
V(x)
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Derivada temporal:
Psi(x, t)
Derivada espacial primeira:
i hbar partial Psipartial t = -hbar^22m partial^2 Psipartial x^2 + V(x) Psi
Derivada espacial segunda:
partial Psipartial t = A e^-alpha(m x^2hbar + i t) (-alpha i) = -i alpha Psi
Agora, substituímos na equação de Schrödinger:
partial Psipartial x = A e^-alpha(m x^2hbar + i t) (-2alpha m xhbar) = -2alpha m xhbar Psi
Simplificando o lado esquerdo:
partial^2 Psipartial x^2 = partialpartial x (-2alpha m xhbar Psi) = -2alpha mhbar Psi + (-2alpha m xhbar) (-2alpha m xhbar) Psi = (-2alpha mhbar + 4alpha^2 m^2 x^2hbar^2) Psi
E o lado direito:
i hbar (-i alpha Psi) = -hbar^22m (-2alpha mhbar + 4alpha^2 m^2 x^2hbar^2) Psi + V(x) Psi
Igualando os dois lados:
hbar alpha Psi
Cancelando $ \hbar \alpha \Psi $ dos dois lados:
-hbar^22m (-2alpha mhbar + 4alpha^2 m^2 x^2hbar^2) Psi + V(x) Psi = (hbar alpha - 2 alpha^2 m x^2hbar) Psi + V(x) Psi

Passo 4

Chegamos à parte c): Calcular $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
Vamos utilizar as definições de valores esperados:
lang<= x rang<=
lang<= x^2 rang<=
lang<= p rang<=
lang<= p^2 rang<=
Calculando $ \langle x \rangle $:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |Psi(x, t)|^2 dx
A função $ x e^{-a x^{2}} $ é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre todo o espaço é zero. Logo,
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |Psi(x, t)|^2 dx
Calculando $ \langle x^{2} \rangle $:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, t) (-i hbar partialpartial x) Psi(x, t) dx
Usando a integral gaussiana:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x, t) (-hbar^2 partial^2partial x^2) Psi(x, t) dx
Aqui, $ a = \frac{2\alpha m}{\hbar} $, então:
Calculando $ \langle p \rangle $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ \Psi $:
lang<= x rang<=
Então,
lang<= x rang<= = A^2 integral-infty^infty x e^-2alpha m x^2hbar dx
Novamente, a função $ x e^{-a x^{2}} $ é ímpar, então:
x e^-a x^2
Calculando $ \langle p^{2} \rangle $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \Psi $:
lang<= x rang<= = 0
Então,
lang<= x^2 rang<=
Separando as integrais:
lang<= x^2 rang<= = A^2 integral-infty^infty x^2 e^-2alpha m x^2hbar dx
Substituindo as integrais conhecidas:
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2
Simplificando:
Substituindo $ A^{2} = \left(\frac{2\alpha m}{\pi \hbar}\right)^{1/2} $:
a = 2alpha mhbar
No entanto, verificando os cálculos detalhadamente, percebemos que na verdade:
lang<= x^2 rang<= = A^2 cdot raizpi hbar^3/22 (2alpha m)^3/2 = hbar4 alpha m
Finalizando dá:
lang<= p rang<=

Passo 5

Finalmente, vamos para a parte d): Calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $ e verificar se o produto dessas é compatível com o princípio da incerteza.
As incertezas são definidas como:
sigmax
sigmap
Já temos $ \langle x \rangle = 0 $ e $ \langle p \rangle = 0 $, então:
sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2
sigmap = raizlang<= p^2 rang<= - lang<= p rang<=^2
O produto das incertezas é:
lang<= x rang<= = 0
O princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que:
lang<= p rang<= = 0
Então, nosso resultado mostra que:
sigmax = raizlang<= x^2 rang<= = raizhbar4 alpha m = raizhbar2 raizalpha m
Isso significa que a situação atinge o limite mínimo permitido pelo princípio da incerteza, ou seja, é compatível com ele.

Resposta

a) A função $ \Psi(x, t) $ normalizada é $ A = \left(\frac{2\alpha m}{\pi \hbar}\right)^{1/4} $.
b) A função de energia potencial é $ V(x) = \frac{2\alpha^{2} m x^{2}}{\hbar} $.
c) Os valores esperados são:
Psi(x, t)
d) As incertezas são $ \sigma_{x} = \frac{\sqrt{\hbar}}{2 \sqrt{\alpha m}} $ e $ \sigma_{p} = \sqrt{\hbar \alpha m} $. O produto $ \sigma_{x} \sigma_{p} = \frac{\hbar}{2} $ está de acordo com o princípio da incerteza.

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