Uma partícula de massa m está no estado dado por
em que
e
são constantes positivas e reais. Determine:
a) Normalize
b) Encontre a função energia potencial
para a qual
é solução da equação de Schrodinger.
c) Calcule os valores
e
.
d) Calcule as incertezas
e
. O produto destas quantidades é compatível com o principio de incerteza?
a) Normalize
b) Encontre a função energia potencial
c) Calcule os valores
d) Calcule as incertezas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física quântica juntos! O enunciado fala sobre uma partícula com massa $ m $ que está em um estado descrito pela função de onda $ \Psi(x, t) = A e^{-\alpha\left[\left(\frac{m x^{2}}{\hbar}\right) + i t\right]} $. Precisamos resolver várias partes:
a) Normalizar $ \Psi(x, t) $
b) Encontrar a função de energia potencial $ V(x) $ para a qual $ \Psi(x, t) $ é solução da equação de Schrödinger.
c) Calcular os valores esperados $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
d) Calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $ e verificar se o produto dessas incertezas é compatível com o princípio da incerteza.
b) Encontrar a função de energia potencial $ V(x) $ para a qual $ \Psi(x, t) $ é solução da equação de Schrödinger.
c) Calcular os valores esperados $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
d) Calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $ e verificar se o produto dessas incertezas é compatível com o princípio da incerteza.
Para resolver tudo isso, vamos precisar de conceitos de mecânica quântica como normalização de funções de onda, operadores observáveis, expectativas e o princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): Normalizar $ \Psi(x, t) $.
Normalizar significa ajustar a função de onda para que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso por:
Primeiro, encontramos $ |\Psi(x, t)|^{2} $:
Onde $ \Psi^{*}(x, t) $ é o conjugado complexo de $ \Psi(x, t) $. Dada a função:
O conjugado é:
Multiplicando:
Agora, integramos isso de $ -\infty $ a $ \infty $ e igualamos a 1:
Essa é uma integral gaussiana, cuja solução é conhecida:
Aqui, $ a = \frac{2\alpha m}{\hbar} $, então:
Passo 3
Agora vamos para a parte b): Encontrar $ V(x) $ para a qual $ \Psi(x, t) $ é solução da equação de Schrödinger.
A equação de Schrödinger dependente do tempo é:
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias.
Derivada temporal:
Derivada espacial primeira:
Derivada espacial segunda:
Agora, substituímos na equação de Schrödinger:
Simplificando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:
Cancelando $ \hbar \alpha \Psi $ dos dois lados:
Passo 4
Chegamos à parte c): Calcular $ \langle x \rangle $, $ \langle x^{2} \rangle $, $ \langle p \rangle $ e $ \langle p^{2} \rangle $.
Vamos utilizar as definições de valores esperados:
Calculando $ \langle x \rangle $:
A função $ x e^{-a x^{2}} $ é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre todo o espaço é zero. Logo,
Calculando $ \langle x^{2} \rangle $:
Usando a integral gaussiana:
Aqui, $ a = \frac{2\alpha m}{\hbar} $, então:
Calculando $ \langle p \rangle $:
Primeiro, calculamos a derivada de $ \Psi $:
Então,
Novamente, a função $ x e^{-a x^{2}} $ é ímpar, então:
Calculando $ \langle p^{2} \rangle $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \Psi $:
Então,
Separando as integrais:
Substituindo as integrais conhecidas:
Simplificando:
Substituindo $ A^{2} = \left(\frac{2\alpha m}{\pi \hbar}\right)^{1/2} $:
No entanto, verificando os cálculos detalhadamente, percebemos que na verdade:
Finalizando dá:
Passo 5
Finalmente, vamos para a parte d): Calcular as incertezas $ \sigma_{x} $ e $ \sigma_{p} $ e verificar se o produto dessas é compatível com o princípio da incerteza.
As incertezas são definidas como:
Já temos $ \langle x \rangle = 0 $ e $ \langle p \rangle = 0 $, então:
O produto das incertezas é:
O princípio da incerteza de Heisenberg estabelece que:
Então, nosso resultado mostra que:
Isso significa que a situação atinge o limite mínimo permitido pelo princípio da incerteza, ou seja, é compatível com ele.
Resposta
a) A função $ \Psi(x, t) $ normalizada é $ A = \left(\frac{2\alpha m}{\pi \hbar}\right)^{1/4} $.
b) A função de energia potencial é $ V(x) = \frac{2\alpha^{2} m x^{2}}{\hbar} $.
c) Os valores esperados são:
d) As incertezas são $ \sigma_{x} = \frac{\sqrt{\hbar}}{2 \sqrt{\alpha m}} $ e $ \sigma_{p} = \sqrt{\hbar \alpha m} $. O produto $ \sigma_{x} \sigma_{p} = \frac{\hbar}{2} $ está de acordo com o princípio da incerteza.