Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por psi(x)= A e^-x^22 L^2 e a energia do estado é E=hbar^2 / 2 m L^2, onde L é um comprimento característico do sistema.
Obtenha o valor médio, lang<= xrang<=, da posição e,lang<= prang<=, do momento da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Mecânica Quântica onde uma partícula tem uma função de onda dada por psi(x) = A e^-x^22 L^2 e a energia do estado é E = hbar^2 / (2 m L^2). Nosso objetivo é encontrar o valor médio da posição, lang<= x rang<=, e do momento, lang<= p rang<=, dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de valores esperados em Mecânica Quântica e realizar alguns cálculos com a função de onda fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. A condição de normalização é:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo psi(x):
integral-infty^infty A^2 e^-x^2L^2 dx = 1
Sabemos que:
integral-infty^infty e^-a x^2 dx = raizpia
Aqui, a = 1L^2, então:
A^2 raizpi L^2 = 1 Rightarrow A^2 L raizpi = 1 Rightarrow A = 1raizL raizpi

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor médio da posição, lang<= x rang<=. O valor esperado de x é:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) x psi(x) dx
Como a função de onda psi(x) é real, podemos simplificar para:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty psi(x) x psi(x) dx = integral-infty^infty A^2 x e^-x^2L^2 dx
Observa-se que a função x e^-x^2L^2 é ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, e sua integral de -infty a infty é zero. Portanto:
lang<= x rang<= = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor médio do momento, lang<= p rang<=. O valor esperado do momento é:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty psi^*(x) p psi(x) dx
Onde o operador momento é p = -i hbar ddx. Substituindo:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-infty^infty psi(x) dpsi(x)dx dx
Calculando a derivada de psi(x):
dpsi(x)dx = A ( -xL^2 ) e^-x^22 L^2 = -xL^2 psi(x)
Substituindo de volta:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-infty^infty psi(x) ( -xL^2 psi(x) ) dx = i hbar 1L^2 integral-infty^infty x psi(x)^2 dx
Novamente, temos uma função ímpar x psi(x)^2 sendo integrada de -infty a infty, o que resulta em zero. Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Resposta

O valor médio da posição da partícula é lang<= x rang<= = 0 e o valor médio do momento é lang<= p rang<= = 0.

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