Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por
e a energia do estado é
, onde L é um comprimento característico do sistema.
Obtenha o valor médio,
, da posição
, do momento da partícula.
Obtenha o valor médio,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Mecânica Quântica onde uma partícula tem uma função de onda dada por
e a energia do estado é
. Nosso objetivo é encontrar o valor médio da posição,
, e do momento,
, dessa partícula. Para isso, vamos usar conceitos de valores esperados em Mecânica Quântica e realizar alguns cálculos com a função de onda fornecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada, ou seja, que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1. A condição de normalização é:
Substituindo
:
Sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor médio da posição,
. O valor esperado de
é:
Como a função de onda
é real, podemos simplificar para:
Observa-se que a função
é ímpar, ou seja, é simétrica em relação à origem, e sua integral de
a
é zero. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor médio do momento,
. O valor esperado do momento é:
Onde o operador momento é
. Substituindo:
Calculando a derivada de
:
Substituindo de volta:
Novamente, temos uma função ímpar
sendo integrada de
a
, o que resulta em zero. Portanto:
Resposta
O valor médio da posição da partícula é
e o valor médio do momento é
.