Uma partícula de massa igual a 3,0 kg move-se num plano com suas coordenadas x e y sendo dadas, respectivamente, por:
x=5,0 t^2-3,0 e y=1,0 t^3+2,0
nas quais x e y são dadas em metros e t em segundos.
Encontre a magnitude da força resultante, para t=2,0 s.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui? Uma partícula de massa x(t) = 5,0,t^2 - 3,0 e y(t) = 1,0,t^3 + 2,0, se move num plano, e as suas coordenadas em função do tempo são
com em segundos e em metros. A gente precisa encontrar a força resultante na partícula quando .
Conteúdo envolvido:
  1. Cinemática vetorial (velocidade e aceleração via derivadas).
  2. Segunda lei de Newton ( ).

Passo 2

Primeiro passo prático é achar a aceleração em função do tempo. Para isso, lembramos:
  • A velocidade é a derivada da posição: dot x(t) = ddtl(5,0,t^2 - 3,0r) = 10,t, dot y(t) = ddtl(1,0,t^3 + 2,0r) = 3,t^2 .
  • A aceleração é a derivada da velocidade (ou segunda derivada da posição): ddot x(t) = ddt(10,t) = 10, ddot y(t) = ddt(3,t^2) = 6,t .
Vamos derivar:
Depois, derivamos mais uma vez para a aceleração:

Passo 3

Agora, avaliamos essas componentes de aceleração em ax(2) = 10 m/s^2, ay(2) = 6 times 2 = 12 m/s^2 :

Passo 4

Com F = m,a ;Longrightarrow; F(2) = 3,0 times (10,;12) = (30,;36) N e , a segunda lei de Newton diz

Passo 5

Por fim, a gente quer a magnitude dessa força:
|F| = raiz30^2 + 36^2 = raiz900 + 1296 = raiz2196 approx 46,9 N

Resposta

A magnitude da força resultante no instante boxed46,9 N é aproximadamente

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