Uma partícula de massa 1 kg , desloca-se ao longo do eixo x com velocidade 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Uma outra partícula de massa 2 kg também desloca-se no eixo x com velocidade 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Após alguns instantes 0corre uma colisão perfeitamente elástica entre elas. Ambas as partículas deslocamse no sentido positivo do eixo x.
a) Quais as velocidades das partículas após a colisão?
b) Se as partículas permanecerem grudadas após a colisão, qual seria a velocidade delas após a colisão?
c) Neste caso, delas permanecerem grudadas, qual seria a perda de energia com a colisão
d) Qual seria a velocidade das partículas após a colisão se a velocidade da partícula de 2 kg tiver sentido negativo?
e) Se as partículas permanecerem grudadas após a colisão e permanecerem grudadas, qual seria a velocidade delas?
f) Qual a perda energia para este caso?

Passo 1

Temos duas partículas que se movem ao longo do eixo x: a de massa m_1=1 kg com velocidade inicial v_1=4 m/s e a de massa m_2=2 kg com velocidade inicial v_2. Vamos estudar dois casos de colisão: perfeitamente elástica (conserva momento e energia cinética) e perfeitamente inelástica (ficam coladas, conserva apenas o momento). Usaremos as fórmulas padrões de colisão em 1D:
Para colisão elástica:
v'_1 = \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{2\,m_2}{m_1+m_2}\,v_2,
v'_2 = \frac{2\,m_1}{m_1+m_2}\,v_1 + \frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\,v_2.
Para colisão inelástica perfeita:
v' = \frac{m_1\,v_1 + m_2\,v_2}{m_1+m_2}.

Passo 2

(a) Colisão perfeitamente elástica com ambas as velocidades iniciais positivas ( v_2=2 m/s). Substituindo m_1=1, m_2=2, v_1=4, v_2=2:
v'_1 = \frac{1-2}{1+2}\,4 + \frac{2\cdot2}{3}\,2 = -\frac{1}{3}\cdot4 + \frac{4}{3}\cdot2 = -\frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\text{ m/s},
v'_2 = \frac{2\cdot1}{3}\,4 + \frac{2-1}{3}\,2 = \frac{8}{3} + \frac{2}{3} = \frac{10}{3}\text{ m/s}.

Passo 3

(b) Colisão perfeitamente inelástica (ficam grudadas), mesmas condições ( v_2=2 m/s). Pelo momento:
v' = \frac{1\cdot4 + 2\cdot2}{1+2} = \frac{4 + 4}{3} = \frac{8}{3}\text{ m/s}.

Passo 4

(c) Perda de energia na colisão inelástica do item (b). Energia inicial:
E_i = \tfrac12(1\cdot4^2 + 2\cdot2^2) = \tfrac12(16 + 8) = 12\text{ J}.
Energia final:
E_f = \tfrac12(1+2)\bigl(\tfrac{8}{3}\bigr)^2 = \tfrac12\cdot3\cdot\frac{64}{9} = \frac{96}{9} = \frac{32}{3}\approx10,667\text{ J}.
Portanto, a perda é
\Delta E = E_i - E_f = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36-32}{3} = \frac{4}{3}\text{ J}.

Passo 5

(d) Colisão perfeitamente elástica, mas agora v_2=-2 m/s (partícula m_2 vem no sentido negativo). Usando as mesmas fórmulas:
v'_1 = -\frac{1}{3}\cdot4 + \frac{4}{3}\cdot(-2) = -\frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -4\text{ m/s},
v'_2 = \frac{2}{3}\cdot4 + \frac{1}{3}\cdot(-2) = \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 2\text{ m/s}.

Passo 6

(e) Colisão perfeitamente inelástica com v_2=-2 m/s. Pelo momento:
v' = \frac{1\cdot4 + 2\cdot(-2)}{3} = \frac{4 - 4}{3} = 0\text{ m/s}.

Passo 7

(f) Perda de energia no caso do item (e). Energia inicial (ainda 12 J, pois v_2^2 não muda):
E_i = 12\text{ J},\quad E_f = \tfrac12\cdot3\cdot0^2 = 0.
Assim,
\Delta E = 12 - 0 = 12\text{ J}.

Resposta

(a) v'_1 = \tfrac{4}{3} m/s e v'_2 = \tfrac{10}{3} m/s.
(b) v' = \tfrac{8}{3} m/s.
(c) Perda de energia \Delta E = \tfrac{4}{3} J.
(d) v'_1 = -4 m/s e v'_2 = 2 m/s.
(e) v' = 0 m/s.
(f) Perda de energia \Delta E = 12 J.

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