3- ( 2,5 pontos) Considere um condutor cilíndrico de raio interno a e raio externo b. A densidade de corrente neste condutor é paralela ao eixo do cilindro, e sua magnitude depende da distância r em relação ao eixo central, de acordo com a expressão
J=c r^{2},
sendo c uma constante. Determine o campo magnético \vec{B} em um ponto localizado a uma distância r do eixo central do cilindro, tal que a<r<b.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro oco de raio interno a e raio externo b, percorrido por uma densidade de corrente axial cuja magnitude varia com a distância r ao eixo segundo
J = c\,r^2.
Queremos \vec{B} para a<r<b. O conteúdo principal a usar é a Lei de Ampère, aplicando simetria cilíndrica para encontrar o campo magnético azimutal.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, o campo magnético em torno do eixo só pode ter direção azimutal \hat{\varphi} e módulo B(r). A Lei de Ampère num caminho circular de raio r diz:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_{0}\,I_{\text{enc}}.
Como \vec{B} é constante ao longo do círculo e tangente, temos
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B(r)\,(2\pi r).

Passo 3

O termo I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área interna ao círculo de raio r, ou seja, somando as camadas de a até r. Cada anel de raio r' e espessura dr' carrega corrente
dI = J(r')\,dA = c\,{r'}^{2}\,(2\pi r'\,dr') = 2\pi c\,{r'}^{3}\,dr'.

Passo 4

Integramos de r'=a até r'=r:
I_{\text{enc}} = \int_{a}^{r} 2\pi c\,{r'}^{3}\,dr' = 2\pi c\;\frac{{r'}^{4}}{4}\Big|_{a}^{r} = \frac{\pi c}{2}\bigl(r^{4}-a^{4}\bigr).

Passo 5

Substituindo na Lei de Ampère:
B(r)\,(2\pi r) = \mu_{0}\,\frac{\pi c}{2}\bigl(r^{4}-a^{4}\bigr) \;\Longrightarrow\; B(r) = \frac{\mu_{0}\,\pi c}{2}\,\frac{r^{4}-a^{4}}{2\pi r} = \frac{\mu_{0}\,c}{4}\,\frac{r^{4}-a^{4}}{r}.
Podemos reescrever
B(r) = \frac{\mu_{0}\,c}{4}\Bigl(r^{3}-\frac{a^{4}}{r}\Bigr).

Passo 6

Concluímos que o campo magnético é azimutal, no sentido dado pela regra da mão direita em torno da corrente.

Resposta

\boxed{ \vec{B}(r) = \frac{\mu_{0}\,c}{4}\Bigl(r^{3}-\frac{a^{4}}{r}\Bigr)\,\hat{\varphi}, \quad a<r<b. }

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