Uma partícula de massa m=2 / 3 Kg move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por F(t)=8 t^2 i+ (12 t-16 / 3) jmath-4 t k (com unidade de Newton). Assumindo que em t=0 s a partícula está localizada cm r0=3 i-jmath+4 k (com unidade de metro) e tem velocidade v0=6 imath+15 jmath-8k, ache a variação da energia cinética da partícula de t=1 s a t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa m = 23 , kg que está sendo puxada por uma força que depende do tempo, dada por F(t) = 8 t^2 i + (12 t - 163) jmath - 4 t k (em Newtons). No instante inicial, t=0, sabemos onde a partícula está e qual é a sua velocidade inicial: r0 = 3 i - jmath + 4 k (em metros) e v0 = 6 imath + 15 jmath - 8 k (em metros por segundo).
O objetivo aqui é descobrir como a energia cinética da partícula mudou entre t=1,s e t=2,s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, velocidade e energia cinética, além de realizar algumas integrações para encontrar as velocidades nos instantes específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton nos diz que a força F aplicada em uma partícula está relacionada à sua aceleração a pela fórmula:
F = m a
Como queremos encontrar a aceleração da partícula em cada direção (x, y, z), vamos dividir a força pela massa:
a(t) = F(t)m = 8 t^223 i + 12 t - 16323 jmath - 4 t23 k
Simplificando cada componente:
a(t) = 12 t^2 i + (18 t - 24) jmath - 6 t k

Passo 3

Agora que temos a aceleração em função do tempo, podemos encontrar a velocidade da partícula integrando a aceleração. A velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo mais a velocidade inicial:
v(t) = v0 + integral0^t a(tau) , dtau
Vamos calcular cada componente da velocidade separadamente.
Componente x:
vx(t) = v0x + integral0^t 12 tau^2 dtau = 6 + 12 [ tau^33 ]0^t = 6 + 4 t^3
Componente y:
vy(t) = v0y + integral0^t (18 tau - 24) dtau = 15 + (9 tau^2 - 24 tau)0^t = 15 + 9 t^2 - 24 t
Componente z:
vz(t) = v0z + integral0^t (-6 tau) dtau = -8 + (-3 tau^2)0^t = -8 - 3 t^2
Então, a velocidade em função do tempo é:
v(t) = (6 + 4 t^3) imath + (15 + 9 t^2 - 24 t) jmath + (-8 - 3 t^2) k

Passo 4

Com a velocidade determinada, podemos agora calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética é:
K = 12 m |v(t)|^2
Onde |v(t)|^2 é o quadrado da velocidade, ou seja:
|v(t)|^2 = vx^2 + vy^2 + vz^2
Vamos calcular cada parte separadamente para facilitar:
Componente x ao quadrado:
vx^2 = (6 + 4 t^3)^2 = 36 + 48 t^3 + 16 t^6
Componente y ao quadrado:
vy^2 = (15 + 9 t^2 - 24 t)^2 = 225 + 270 t^2 - 720 t + 81 t^4 + 576 t^2
Simplificando:
vy^2 = 225 - 720 t + 846 t^2 + 81 t^4
Componente z ao quadrado:
vz^2 = (-8 - 3 t^2)^2 = 64 + 48 t^2 + 9 t^4
Agora, somando todas as componentes:
|v(t)|^2 = (36 + 48 t^3 + 16 t^6) + (225 - 720 t + 846 t^2 + 81 t^4) + (64 + 48 t^2 + 9 t^4)
Simplificando:
|v(t)|^2 = 36 + 225 + 64 + 48 t^3 - 720 t + (846 + 48) t^2 + (81 + 9) t^4 + 16 t^6
|v(t)|^2 = 325 + 48 t^3 - 720 t + 894 t^2 + 90 t^4 + 16 t^6

Passo 5

Agora que temos |v(t)|^2, podemos encontrar a energia cinética K(t):
K(t) = 12 times 23 times (325 + 48 t^3 - 720 t + 894 t^2 + 90 t^4 + 16 t^6)
Simplificando os coeficientes:
K(t) = 13 times (325 + 48 t^3 - 720 t + 894 t^2 + 90 t^4 + 16 t^6)
Portanto:
K(t) = 3253 + 16 t^3 - 240 t + 298 t^2 + 30 t^4 + 163 t^6

Passo 6

Agora, queremos encontrar a variação da energia cinética entre t=1,s e t=2,s. Isso significa calcular K(2) - K(1).
Primeiro, calculamos K(2):
K(2) = 3253 + 16 (2)^3 - 240 (2) + 298 (2)^2 + 30 (2)^4 + 163 (2)^6
Simplificando:
K(2) = 3253 + 16 times 8 - 240 times 2 + 298 times 4 + 30 times 16 + 163 times 64
K(2) = 3253 + 128 - 480 + 1192 + 480 + 10243
K(2) = (325 + 10243) + (128 - 480 + 1192 + 480)
K(2) = 13493 + 1320
K(2) approx 449.67 + 1320 = 1769.67 , J
Agora, calculamos K(1):
K(1) = 3253 + 16 (1)^3 - 240 (1) + 298 (1)^2 + 30 (1)^4 + 163 (1)^6
Simplificando:
K(1) = 3253 + 16 - 240 + 298 + 30 + 163
K(1) = 325 + 163 + (-240 + 298 + 30)
K(1) = 3413 + 88
K(1) approx 113.67 + 88 = 201.67 , J

Resposta

A variação da energia cinética da partícula entre t=1,s e t=2,s é aproximadamente 1769.67,J - 201.67,J = 1568,J.

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