Uma partícula de massa
move-se de acordo com uma força dependente do tempo t ( t em unidade de segundo) dada por
(com unidade de Newton). Assumindo que em
a partícula está localizada
(com unidade de metro) e tem velocidade
, ache a variação da energia cinética da partícula de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que está sendo puxada por uma força que depende do tempo, dada por
(em Newtons). No instante inicial,
, sabemos onde a partícula está e qual é a sua velocidade inicial:
(em metros) e
(em metros por segundo).
O objetivo aqui é descobrir como a energia cinética da partícula mudou entre
e
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de força, aceleração, velocidade e energia cinética, além de realizar algumas integrações para encontrar as velocidades nos instantes específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda lei de Newton nos diz que a força
aplicada em uma partícula está relacionada à sua aceleração
pela fórmula:
Como queremos encontrar a aceleração da partícula em cada direção (x, y, z), vamos dividir a força pela massa:
Simplificando cada componente:
Passo 3
Agora que temos a aceleração em função do tempo, podemos encontrar a velocidade da partícula integrando a aceleração. A velocidade é a integral da aceleração em relação ao tempo mais a velocidade inicial:
Vamos calcular cada componente da velocidade separadamente.
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Então, a velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Com a velocidade determinada, podemos agora calcular a energia cinética da partícula. A fórmula da energia cinética é:
Onde
é o quadrado da velocidade, ou seja:
Vamos calcular cada parte separadamente para facilitar:
Componente x ao quadrado:
Componente y ao quadrado:
Simplificando:
Componente z ao quadrado:
Agora, somando todas as componentes:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
, podemos encontrar a energia cinética
:
Simplificando os coeficientes:
Portanto:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a variação da energia cinética entre
e
. Isso significa calcular
.
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Resposta
A variação da energia cinética da partícula entre
e
é aproximadamente
.