Uma partícula de massa m move-se no plano x y, de modo que seu vetor posição é r(t)=A cos (omega t) i+B sen(omega t) j, onde A, B e omega são constantes positivas e A> B. Obtenha a aceleração da particula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma partícula está se movendo no plano xy, e a posição dela em função do tempo é dada por:
r(t) = A cos(omega t) i + B sin(omega t) j
Aqui, $ A $, $ B $ e $ \omega $ são constantes positivas, e $ A > B $. Nosso objetivo é encontrar a aceleração dessa partícula. Para isso, vamos usar cálculo vetorial, derivando a posição em relação ao tempo para achar a velocidade e depois a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade da partícula é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de $ \vec{r}(t) $:
r(t)
Calculando as derivadas:
v(t) = dr(t)dt = ddt[A cos(omega t)] i + ddt[B sin(omega t)] j
ddt[A cos(omega t)] = -A omega sin(omega t)
Então, a velocidade é:
ddt[B sin(omega t)] = B omega cos(omega t)

Passo 3

Agora que temos a velocidade, vamos encontrar a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de $ \vec{v}(t) $:
v(t)
Calculando as derivadas:
a(t) = dv(t)dt = ddt[-A omega sin(omega t)] i + ddt[B omega cos(omega t)] j
ddt[-A omega sin(omega t)] = -A omega^2 cos(omega t)
Portanto, a aceleração é:
ddt[B omega cos(omega t)] = -B omega^2 sin(omega t)

Resposta

A aceleração da partícula é:
a(t) = -A omega^2 cos(omega t) i - B omega^2 sin(omega t) j

Exercícios relacionados