Uma partícula se move do ponto A(1,2,3) até o ponto B(4,5,6) sob a ação da força conservativa:
F(x, y, z)=(2 x, 3 y^2, 4 z^3) N
Calcule o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento da partícula e responda:
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1), 3) e 4)? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que uma partícula vai do ponto A(1,2,3) até B(4,5,6) sob a força conservativa
F(x,y,z) = (2x,;3y^2,;4z^3),N
A matéria aqui é “trabalho de força conservativa” e “função potencial”. Pra resolver, vamos precisar:
1) Mostrar que existe uma função escalar φ (potencial) tal que F = nabla phi.
2) Usar o Teorema Fundamental do Cálculo para forças conservativas:
W = integralA^B Fcdot d r = phi(B) - phi(A)

Passo 2

Primeiro, construímos φ(x,y,z) sabendo que
nabla phi = l(partialphipartial x,,partialphipartial y,,partialphipartial zr) = (2x,,3y^2,,4z^3)
Isso significa que:
1) partialphipartial x = 2x implies phi(x,y,z) = integral 2x,dx = x^2 + h(y,z)
2) Agora usamos partialphi/partial y = 3y^2:
$$\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 + h(y,z)\bigr) = h_y(y,z) = 3y^2
 \implies h(y,z) = \int 3y^2\,dy = y^3 + k(z).$$  
  1. Por fim, partialpartial yl(x^2 + h(y,z)r) = hy(y,z) = 3y^2 implies h(y,z) = integral 3y^2,dy = y^3 + k(z) dá$$\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2 + y^3 + k(z)\bigr) = k’(z) = 4z^3\implies k(z) = \int 4z^3,dz = z^4 + C.$$
Logo, podemos tomar (sem perder generalidade)
partialphi/partial z = 4z^3

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental:
W = phi(B) - phi(A)
com
phi(B)=phi(4,5,6)=4^2 + 5^3 +6^4 =16 +125 +1296 =1437,
phi(A)=phi(1,2,3)=1^2 +2^3 +3^4 =1 +8 +81 =90

Passo 4

Portanto o trabalho é
W = 1437 - 90 = 1347 J

Passo 5

Sobre o significado da integral aqui: continua sendo o mesmo conceito de “soma de infinitésimos” que você viu nas questõ es anteriores. A diferença é que, em vez de integrar uma função real f(x) num intervalo, fazemos uma integral de linha de um campo vetorial Fcdot d r, somando Fcdot d r ao longo do caminho. Mas, matematicamente, é a mesma ideia de aproximar por somas de retângulos (ou somar pedacinhos de trabalho infinitesimais).

Resposta

O trabalho realizado é
boxedW = 1347 J
E sim: o uso da integral aqui tem exatamente o mesmo significado de soma de contribuições infinitesimais que você viu nas questões anteriores, só que agora aplicado à integral de linha de um campo vetorial.

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