Uma partícula se move do ponto
até o ponto
sob a ação da força conservativa:
Calcule o trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento da partícula e responda:
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1), 3) e 4)? Justifique sua resposta.
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1), 3) e 4)? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que uma partícula vai do ponto A(1,2,3) até B(4,5,6) sob a força conservativa
A matéria aqui é “trabalho de força conservativa” e “função potencial”. Pra resolver, vamos precisar:
1) Mostrar que existe uma função escalar φ (potencial) tal que
2) Usar o Teorema Fundamental do Cálculo para forças conservativas:
Passo 2
Primeiro, construímos φ(x,y,z) sabendo que
Isso significa que:
1)
2) Agora usamos
$$\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 + h(y,z)\bigr) = h_y(y,z) = 3y^2
\implies h(y,z) = \int 3y^2\,dy = y^3 + k(z).$$
- Por fim,
dá$$\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2 + y^3 + k(z)\bigr) = k’(z) = 4z^3\implies k(z) = \int 4z^3,dz = z^4 + C.$$
Logo, podemos tomar (sem perder generalidade)
Passo 3
Agora aplicamos o Teorema Fundamental:
com
Passo 4
Portanto o trabalho é
Passo 5
Sobre o significado da integral aqui: continua sendo o mesmo conceito de “soma de infinitésimos” que você viu nas questõ es anteriores. A diferença é que, em vez de integrar uma função real
num intervalo, fazemos uma integral de linha de um campo vetorial
, somando
ao longo do caminho. Mas, matematicamente, é a mesma ideia de aproximar por somas de retângulos (ou somar pedacinhos de trabalho infinitesimais).
Resposta
O trabalho realizado é
E sim: o uso da integral aqui tem exatamente o mesmo significado de soma de contribuições infinitesimais que você viu nas questões anteriores, só que agora aplicado à integral de linha de um campo vetorial.