Uma partícula de massa 2 kg se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por:
onde
está em Newtons e x está em metros.
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1) e 3)? Justifique sua resposta.
Ao utilizar integral nesse caso, seu significado matemático é o mesmo daquele estabelecido na questão 1) e 3)? Justifique sua resposta.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos uma partícula de massa 2 kg que se move no eixo x sob a ação de uma força variável
Queremos saber se, ao usar a integral para calcular algo nesse caso, o significado matemático da integral é o mesmo que apareceu nas questões 1) e 3).
Conteúdo: cálculo de integrais definidas e interpretação de área sob curva/soma de infinitesimais. Vamos precisar do conceito de integral definida como soma de infinitos retângulos (Riemann) e do teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
O que é integral definida?
– A gente divide o intervalo de x em pedaços pequenos, cada um de largura Δx.
– Em cada pedacinho, a função F(x) varia pouco, então aproximamos a “área” por F(x_i)·Δx.
– Somamos todas essas F(x_i)·Δx e deixamos Δx ir para zero.
Matematicamente:
– A gente divide o intervalo de x em pedaços pequenos, cada um de largura Δx.
– Em cada pedacinho, a função F(x) varia pouco, então aproximamos a “área” por F(x_i)·Δx.
– Somamos todas essas F(x_i)·Δx e deixamos Δx ir para zero.
Matematicamente:
Isso vale sempre para interpretar a integral como soma de “infinitesimais” e área sob a curva.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso de força variável:
Quando queremos calcular o trabalho W feito pela força de x₁ a x₂, usamos
Quando queremos calcular o trabalho W feito pela força de x₁ a x₂, usamos
Aqui a integral também está somando infinitesimais de força vezes deslocamento.
Nas questões 1) e 3), a integral tinha exatamente essa interpretação matemática: soma de infinitos retângulos (ou incremento de alguma grandeza). Não importa se era área sob a curva de velocidade, de densidade, de taxa de variação etc., o processo é o mesmo.
Resposta
Sim. Quando usamos a integral para calcular o trabalho
, o seu significado matemático (soma de infinitas parcelas
, área sob a curva) é idêntico ao que rolou nas questões 1) e 3). A diferença está só na interpretação física (aqui é trabalho), mas a matemática da integral continua a mesma.