Uma partícula de massa 2 kg se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por:
F(x)=5 x^2+3 x
onde F(x) está em Newtons e x está em metros.
Determine o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de x=1 m até x=4 m.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que uma partícula de massa 2 kg sofre uma força que depende da posição x no eixo (F(x)=5x²+3x) e a gente precisa achar o trabalho que essa força faz quando a partícula vai de x=1 m até x=4 m.
Conteúdo: cálculo de trabalho de uma força variável por meio de integração.
O que vamos precisar:
  • Saber que trabalho W = ∫[x₁→x₂] F(x) dx.
  • Saber integrar polinômios em x.

Passo 2

O trabalho W é a integral da força em função de x, de x=1 até x=4:
W = integral1^4F(x),dx = integral1^4l(5x^2 + 3xr),dx
Aqui a teoria é: para uma força que varia com a posição, somamos infinitesimais de força vezes infinitesimal de deslocamento. Isso vira uma integral definida.

Passo 3

Vamos integrar termo a termo.
  • Para 53x^3 + 32x^2, a antiderivada é .
  • Para , a antiderivada é .
    Então a primitiva de é

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva entre 1 e 4:
$$W = \left[\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x2\right]_{1}{4}
= \Bigl(\frac{5}{3}\cdot4^3 + \frac{3}{2}\cdot4^2\Bigr)
  • \Bigl(\frac{5}{3}\cdot1^3 + \frac{3}{2}\cdot1^2\Bigr).$$

Passo 5

Calcular os valores:
  • Para W = 3923 - 196 = 7846 - 196 = 7656 = 127.5 J:
  • Para :
Então

Resposta

O trabalho realizado pela força no deslocamento de x=1 m até x=4 m é J.

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