Uma partícula de massa 2 kg se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força variável dada por:
onde
está em Newtons e x está em metros.
Determine o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de
até
.
Determine o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que uma partícula de massa 2 kg sofre uma força que depende da posição x no eixo (F(x)=5x²+3x) e a gente precisa achar o trabalho que essa força faz quando a partícula vai de x=1 m até x=4 m.
Conteúdo: cálculo de trabalho de uma força variável por meio de integração.
O que vamos precisar:
Conteúdo: cálculo de trabalho de uma força variável por meio de integração.
O que vamos precisar:
- Saber que trabalho W = ∫[x₁→x₂] F(x) dx.
- Saber integrar polinômios em x.
Passo 2
O trabalho W é a integral da força em função de x, de x=1 até x=4:
Aqui a teoria é: para uma força que varia com a posição, somamos infinitesimais de força vezes infinitesimal de deslocamento. Isso vira uma integral definida.
Passo 3
Vamos integrar termo a termo.
- Para
, a antiderivada é . - Para
, a antiderivada é .
Então a primitiva deé
Passo 4
Agora avaliamos essa primitiva entre 1 e 4:
$$W = \left[\frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x2\right]_{1}{4}
= \Bigl(\frac{5}{3}\cdot4^3 + \frac{3}{2}\cdot4^2\Bigr)
= \Bigl(\frac{5}{3}\cdot4^3 + \frac{3}{2}\cdot4^2\Bigr)
- \Bigl(\frac{5}{3}\cdot1^3 + \frac{3}{2}\cdot1^2\Bigr).$$
Passo 5
Calcular os valores:
- Para
: - Para
:
Então
Resposta
O trabalho realizado pela força no deslocamento de x=1 m até x=4 m é
J.